Considere uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Sejam
e
as coordenadas cilíndricas de uma partícula de massa
,
. Suponha que a energia potencial dessa partícula só dependa de
. Lembramos que:
Escreva, em coordenadas cilíndricas, a equação de autovalores do hamiltoniano
da partícula. Deduzir a equação diferencial que permite obter
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com simetria cilíndrica, ou seja, seu comportamento é o mesmo ao redor de um eixo (imagine um cilindro). As coordenadas que vamos usar são
, que representa a distância radial do eixo,
, o ângulo ao redor do eixo, e
, a altura ao longo do eixo. A energia potencial dessa partícula depende apenas de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger na forma de autovalores para o hamiltoniano
em coordenadas cilíndricas. Vamos seguir passo a passo para montar essa equação e chegar na equação diferencial para
.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever o hamiltoniano
da partícula em coordenadas cilíndricas. O hamiltoniano geral para uma partícula livre é dado por:
Aqui,
é o operador laplaciano e
é a energia potencial que depende apenas de
.
Passo 3
Sabemos que, em coordenadas cilíndricas, o operador laplaciano é:
Mas como a potencial
não depende de
, podemos assumir que a partícula não tem energia na direção
, ou seja, a parte envolvendo
pode ser ignorada para simplificação, ou consideramos que a energia nessa direção é constante.
Passo 4
Agora, vamos montar a equação de autovalores do hamiltoniano
. A equação de Schrödinger independente do tempo é:
Substituindo o hamiltoniano em coordenadas cilíndricas, temos:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a função de onda
pode ser escrita como produto de funções que dependem somente de cada coordenada:
Aqui,
é a parte radial da função de onda e
é a parte angular.
Passo 6
Substituindo essa forma na equação de Schrödinger, temos:
Passo 7
Dividindo ambos os lados da equação por
, obtemos:
Passo 8
Perceba que o lado esquerdo da equação depende apenas de
e
, enquanto o lado direito é uma constante. Para que a igualdade seja válida para todas as coordenadas, cada termo que depende de
deve ser igual a uma constante, digamos
. Isso nos dá duas equações separadas:
-
Para a parte angular:
-
Para a parte radial:
Passo 9
Focando na equação radial, podemos reorganizá-la para obter uma equação diferencial para
:
Resposta
A equação diferencial que permite obter
é: