Considere uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Sejam rho, varphi e z as coordenadas cilíndricas de uma partícula de massa mu sem spin(x=rho cos varphi, y=rho sin varphi ; rho >= 0,0 <= varphi <= 2 pi). Suponha que a energia potencial dessa partícula só dependa de rho. Lembramos que:
partial^2partial x^2+partial^2partial y^2=partial^2partial rho^2+1rho partialpartial rho+1rho^2 partial^2partial varphi^2
Escreva, em coordenadas cilíndricas, a equação de autovalores do hamiltoniano H da partícula. Deduzir a equação diferencial que permite obter fn m(rho).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com simetria cilíndrica, ou seja, seu comportamento é o mesmo ao redor de um eixo (imagine um cilindro). As coordenadas que vamos usar são rho, que representa a distância radial do eixo, varphi, o ângulo ao redor do eixo, e z, a altura ao longo do eixo. A energia potencial dessa partícula depende apenas de rho. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger na forma de autovalores para o hamiltoniano H em coordenadas cilíndricas. Vamos seguir passo a passo para montar essa equação e chegar na equação diferencial para fn m(rho).

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever o hamiltoniano H da partícula em coordenadas cilíndricas. O hamiltoniano geral para uma partícula livre é dado por:
H = -hbar^22mu nabla^2 + V(rho)
Aqui, nabla^2 é o operador laplaciano e V(rho) é a energia potencial que depende apenas de rho.

Passo 3

Sabemos que, em coordenadas cilíndricas, o operador laplaciano é:
nabla^2 = partial^2partial rho^2 + 1rho partialpartial rho + 1rho^2 partial^2partial varphi^2 + partial^2partial z^2
Mas como a potencial V não depende de z, podemos assumir que a partícula não tem energia na direção z, ou seja, a parte envolvendo partial^2partial z^2 pode ser ignorada para simplificação, ou consideramos que a energia nessa direção é constante.

Passo 4

Agora, vamos montar a equação de autovalores do hamiltoniano H. A equação de Schrödinger independente do tempo é:
H psi = E psi
Substituindo o hamiltoniano em coordenadas cilíndricas, temos:
-hbar^22mu ( partial^2 psipartial rho^2 + 1rho partial psipartial rho + 1rho^2 partial^2 psipartial varphi^2 ) + V(rho) psi = E psi

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a função de onda psi pode ser escrita como produto de funções que dependem somente de cada coordenada:
psi(rho, varphi) = fn m(rho) Phi(varphi)
Aqui, fn m(rho) é a parte radial da função de onda e Phi(varphi) é a parte angular.

Passo 6

Substituindo essa forma na equação de Schrödinger, temos:
-hbar^22mu ( Phi(varphi) d^2 fn md rho^2 + Phi(varphi)rho d fn md rho + fn m(rho)rho^2 d^2 Phid varphi^2 ) + V(rho) fn m(rho) Phi(varphi) = E fn m(rho) Phi(varphi)

Passo 7

Dividindo ambos os lados da equação por fn m(rho) Phi(varphi), obtemos:
-hbar^22mu ( 1fn m d^2 fn md rho^2 + 1rho fn m d fn md rho ) - hbar^22mu 1rho^2 1Phi d^2 Phid varphi^2 + V(rho) = E

Passo 8

Perceba que o lado esquerdo da equação depende apenas de rho e varphi, enquanto o lado direito é uma constante. Para que a igualdade seja válida para todas as coordenadas, cada termo que depende de varphi deve ser igual a uma constante, digamos m^2. Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para a parte angular:
    d^2 Phid varphi^2 + m^2 Phi = 0
  2. Para a parte radial:
    -hbar^22mu ( d^2 fn md rho^2 + 1rho d fn md rho ) + ( V(rho) + hbar^2 m^22mu rho^2 ) fn m(rho) = E fn m(rho)

Passo 9

Focando na equação radial, podemos reorganizá-la para obter uma equação diferencial para fn m(rho):
d^2 fn md rho^2 + 1rho d fn md rho + ( 2muhbar^2 ( E - V(rho) ) - m^2rho^2 ) fn m(rho) = 0

Resposta

A equação diferencial que permite obter fn m(rho) é:
d^2 fn md rho^2 + 1rho d fn md rho + ( 2muhbar^2 ( E - V(rho) ) - m^2rho^2 ) fn m(rho) = 0

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