(a) Calcule os intervalos de comprimento de onda nos quais as séries de Lyman, de Balmer e de Paschen se estendem. (O intervalo se estende do maior comprimento de onda ao limite das séries.) (b) Determine os intervalos de freqüências correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
(a) Calcular os intervalos de comprimento de onda nos quais se estendem as séries de Lyman, Balmer e Paschen. O intervalo deve ir do maior comprimento de onda da série até o limite da série (maior comprimento de onda → menor comprimento de onda).
(b) Determinar os intervalos de frequências correspondentes a esses mesmos intervalos de comprimento de onda.
Informações implícitas que vamos usar (não fornecidas no enunciado, mas necessárias e usuais neste tipo de problema): vamos modelar átomos de hidrogênio isolados usando a fórmula de Rydberg, e usar as constantes físicas padrão R (constante de Rydberg para o hidrogênio) e c (velocidade da luz) para converter entre comprimento de onda e frequência. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Fórmula que descreve as linhas de emissão do hidrogênio (fórmula de Rydberg). Expliquei passo a passo:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da linha emitida (em metros),
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em \mathrm{m^{-1}}),
  • n_f é o número quântico final ( inteiro positivo, n_f\ge1 ),
  • n_i é o número quântico inicial ( n_i>n_f, inteiro).
Explicação do que essa fórmula diz, de forma simples: cada transição eletrônica entre um nível n_i e um nível n_f libera um fóton cuja energia (e portanto frequência e comprimento de onda) é dada pela diferença entre 1/n_f^2 e 1/n_i^2, multiplicada por R. Quanto menor a diferença, menor a energia e maior o comprimento de onda.
Para cada série (Lyman, Balmer, Paschen) o n_f é fixo:
  • Lyman: n_f=1
  • Balmer: n_f=2
  • Paschen: n_f=3
O “maior comprimento de onda” dentro da série ocorre quando a diferença de energia é mínima, ou seja para n_i=n_f+1. O “limite da série” corresponde a n_i\to\infty. Portanto, os extremos do intervalo de comprimentos de onda para cada série são:
\lambda_{\text{máx}}=\frac{1}{R\left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{(n_f+1)^{2}}\right)} \quad\text{e}\quad \lambda_{\text{limite}}=\frac{1}{R\left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-0\right)}=\frac{1}{R}\,n_f^{2}.á

Passo 3

Simplificar as expressões analíticas para cada série (ou seja, expressões em função de 1/R) para facilitar cálculos sem depender de uma calculadora complicada.
Lyman ( n_f=1):
\lambda_{\text{máx}}=\frac{1}{R\left(1-\dfrac{1}{4}\right)}=\frac{1}{R\cdot\frac{3}{4}}=\frac{4}{3R}, \qquad \lambda_{\text{limite}}=\frac{1}{R}\cdot 1^{2}=\frac{1}{R}.á
Balmer ( n_f=2):
\lambda_{\text{máx}}=\frac{1}{R\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right)}=\frac{1}{R\cdot\frac{5}{36}}=\frac{36}{5R}, \qquad \lambda_{\text{limite}}=\frac{1}{R}\cdot 2^{2}=\frac{4}{R}.á
Paschen ( n_f=3):
\lambda_{\text{máx}}=\frac{1}{R\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}\right)}=\frac{1}{R\cdot\frac{7}{144}}=\frac{144}{7R}, \qquad \lambda_{\text{limite}}=\frac{1}{R}\cdot 3^{2}=\frac{9}{R}.á
Observação didática: notar que todas as extremidades ficam como múltiplos simples de 1/R — isso é ótimo para cálculos manuais porque basta conhecer 1/R e multiplicar por frações simples.

Passo 4

Escolha das constantes e método numérico. Para obter valores numéricos vou usar as constantes padrão (valores com precisão suficiente para a prova):
R=1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},\qquad c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.
Primeiro calculo 1/R (que é o comprimento de onda do limite de Lyman):
\frac{1}{R}=9{,}112670\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=91{,}1267\\ \mathrm{nm}.
Agora uso as fórmulas do passo anterior multiplicando este 1/R pelas frações encontradas.

Passo 5

Cálculo numérico dos comprimentos de onda (passo a passo substituindo 1/R):
Lyman:
\lambda_{\text{máx}}=\frac{4}{3R}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{R}=\frac{4}{3}\cdot91{,}1267\\ \mathrm{nm}=121{,}5023\\ \mathrm{nm},á
\lambda_{\text{limite}}=\frac{1}{R}=91{,}1267\\ \mathrm{nm}.
Portanto o intervalo de Lyman vai de \,121{,}50\\ \mathrm{nm} até \,91{,}13\\ \mathrm{nm} (do maior para o menor comprimento de onda).
Balmer:
\lambda_{\text{máx}}=\frac{36}{5R}=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{R}=7{,}2\cdot91{,}1267\\ \mathrm{nm}=656{,}1133\\ \mathrm{nm},á
\lambda_{\text{limite}}=\frac{4}{R}=4\cdot91{,}1267\\ \mathrm{nm}=364{,}5068\\ \mathrm{nm}.
Logo Balmer vai de \,656{,}11\\ \mathrm{nm} até \,364{,}51\\ \mathrm{nm}.
Paschen:
\lambda_{\text{máx}}=\frac{144}{7R}=\frac{144}{7}\cdot\frac{1}{R}=20{,}5714286\cdot91{,}1267\\ \mathrm{nm}=1874{,}62\\ \mathrm{nm}\\ (\text{aprox.}),á
\lambda_{\text{limite}}=\frac{9}{R}=9\cdot91{,}1267\\ \mathrm{nm}=820{,}1403\\ \mathrm{nm}.
Assim Paschen vai de \,1874{,}6\\ \mathrm{nm} até \,820{,}14\\ \mathrm{nm}.
(Dica de prova: se quiser valores aproximados rápido, memorize as frações 4/3,\;1,\;36/5,\;4,\;144/7,\;9 multiplicadas por 1/R.)

Passo 6

Agora converto esses intervalos de comprimento de onda em intervalos de frequência. Relação básica entre frequência \nu e comprimento de onda \lambda:
\nu=\frac{c}{\lambda}.
Como alternativa para economizar contas, uso a quantidade cR que já aparece nas fórmulas; de fato
\nu=cR\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
Calculemos cR primeiro:
cR=(2{,}99792458\times10^{8})(1{,}0973731568508\times10^{7})=3{,}289841960355\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Frequências para cada série (usar \nu_{\text{mín}}=í frequência associada a \lambda_{\text{máx}}á e \nu_{\text{máx}}=á frequência do limite):
Lyman ( n_f=1):
\nu_{\text{mín}}=cR\!\left(1-\frac{1}{4}\right)=cR\cdot\frac{3}{4}=0{,}75\,cR=0{,}75\cdot3{,}289841960355\times10^{15}=2{,}467381470266\times10^{15}\\ \mathrm{Hz},í
\nu_{\text{máx}}=cR\cdot 1 =3{,}289841960355\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.á
Intervalo de Lyman em frequência: de \,2{,}467\times10^{15}\\ \mathrm{Hz} até \,3{,}2898\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Balmer ( n_f=2):
\nu_{\text{mín}}=cR\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=cR\cdot\frac{5}{36}=\frac{5}{36}\,cR=4{,}569224389104\times10^{14}\\ \mathrm{Hz},í
\nu_{\text{máx}}=cR\cdot\frac{1}{4}=0{,}25\,cR=8{,}2246049008875\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.á
Intervalo de Balmer em frequência: de \,4{,}569\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} até \,8{,}2246\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Paschen ( n_f=3):
\nu_{\text{mín}}=cR\!\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right)=cR\cdot\frac{7}{144}=\frac{7}{144}\,cR=1{,}598703730537\times10^{14}\\ \mathrm{Hz},í
\nu_{\text{máx}}=cR\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{9}\,cR=3{,}65537995595\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.á
Intervalo de Paschen em frequência: de \,1{,}5987\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} até \,3{,}6554\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) Comprimentos de onda (do maior para o limite):
Lyman: \,121{,}50\\ \mathrm{nm} até \,91{,}1267\\ \mathrm{nm}.
Balmer: \,656{,}11\\ \mathrm{nm} até \,364{,}51\\ \mathrm{nm}.
Paschen: \,1874{,}6\\ \mathrm{nm} até \,820{,}14\\ \mathrm{nm}.
(b) Frequências correspondentes (do menor para o maior):
Lyman: \,2{,}467381470266\times10^{15}\\ \mathrm{Hz} até \,3{,}289841960355\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Balmer: \,4{,}569224389104\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} até \,8{,}2246049008875\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Paschen: \,1{,}598703730537\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} até \,3{,}65537995595\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Exercícios relacionados