(a) Calcule os intervalos de comprimento de onda nos quais as séries de Lyman, de Balmer e de Paschen se estendem. (O intervalo se estende do maior comprimento de onda ao limite das séries.) (b) Determine os intervalos de freqüências correspondentes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
(a) Calcular os intervalos de comprimento de onda nos quais se estendem as séries de Lyman, Balmer e Paschen. O intervalo deve ir do maior comprimento de onda da série até o limite da série (maior comprimento de onda → menor comprimento de onda).
(b) Determinar os intervalos de frequências correspondentes a esses mesmos intervalos de comprimento de onda.
(a) Calcular os intervalos de comprimento de onda nos quais se estendem as séries de Lyman, Balmer e Paschen. O intervalo deve ir do maior comprimento de onda da série até o limite da série (maior comprimento de onda → menor comprimento de onda).
(b) Determinar os intervalos de frequências correspondentes a esses mesmos intervalos de comprimento de onda.
Informações implícitas que vamos usar (não fornecidas no enunciado, mas necessárias e usuais neste tipo de problema): vamos modelar átomos de hidrogênio isolados usando a fórmula de Rydberg, e usar as constantes físicas padrão
(constante de Rydberg para o hidrogênio) e
(velocidade da luz) para converter entre comprimento de onda e frequência. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Fórmula que descreve as linhas de emissão do hidrogênio (fórmula de Rydberg). Expliquei passo a passo:
onde:
-
é o comprimento de onda da linha emitida (em metros), -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em ), -
é o número quântico final ( inteiro positivo, ), -
é o número quântico inicial ( , inteiro).
Explicação do que essa fórmula diz, de forma simples: cada transição eletrônica entre um nível
e um nível
libera um fóton cuja energia (e portanto frequência e comprimento de onda) é dada pela diferença entre
e
, multiplicada por
. Quanto menor a diferença, menor a energia e maior o comprimento de onda.
Para cada série (Lyman, Balmer, Paschen) o
é fixo:
- Lyman:
- Balmer:
- Paschen:
O “maior comprimento de onda” dentro da série ocorre quando a diferença de energia é mínima, ou seja para
. O “limite da série” corresponde a
. Portanto, os extremos do intervalo de comprimentos de onda para cada série são:
Passo 3
Simplificar as expressões analíticas para cada série (ou seja, expressões em função de
) para facilitar cálculos sem depender de uma calculadora complicada.
Lyman (
):
Balmer (
):
Paschen (
):
Observação didática: notar que todas as extremidades ficam como múltiplos simples de
— isso é ótimo para cálculos manuais porque basta conhecer
e multiplicar por frações simples.
Passo 4
Escolha das constantes e método numérico. Para obter valores numéricos vou usar as constantes padrão (valores com precisão suficiente para a prova):
Primeiro calculo
(que é o comprimento de onda do limite de Lyman):
Agora uso as fórmulas do passo anterior multiplicando este
pelas frações encontradas.
Passo 5
Cálculo numérico dos comprimentos de onda (passo a passo substituindo
):
Lyman:
Portanto o intervalo de Lyman vai de
até
(do maior para o menor comprimento de onda).
Balmer:
Logo Balmer vai de
até
.
Paschen:
Assim Paschen vai de
até
.
(Dica de prova: se quiser valores aproximados rápido, memorize as frações
multiplicadas por
.)
Passo 6
Agora converto esses intervalos de comprimento de onda em intervalos de frequência. Relação básica entre frequência
e comprimento de onda
:
Como alternativa para economizar contas, uso a quantidade
que já aparece nas fórmulas; de fato
Calculemos
primeiro:
Passo 7
Frequências para cada série (usar
frequência associada a
e
frequência do limite):
Lyman (
):
Intervalo de Lyman em frequência: de
até
.
Balmer (
):
Intervalo de Balmer em frequência: de
até
.
Paschen (
):
Intervalo de Paschen em frequência: de
até
.
Resposta
(a) Comprimentos de onda (do maior para o limite):
Lyman: até
Balmer: até
Paschen: até
Lyman:
Balmer:
Paschen:
(b) Frequências correspondentes (do menor para o maior):
Lyman: até
Balmer: até
Paschen: até
Lyman:
Balmer:
Paschen: