Calcule o comprimento de onda de Broglie em, nanômetros, associado a uma bola de futebol, com massa de 400 g que se desloca a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de Broglie associado a uma bola de futebol. Dados fornecidos:
\text{massa } m = 400\\ \mathrm{g}
\text{velocidade } v = 10\\ \mathrm{m/s}
Queremos o comprimento de onda em nanômetros.

Passo 2

Fórmula que relaciona comprimento de onda de Broglie e momento linear:
\lambda = \frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Vou explicar cada termo:
  • h (constante de Planck) é uma constante física com valor aproximado \,h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. É a escala quântica que liga energia/frequência e momento/comprimento de onda.
  • p (momento linear) para um corpo clássico sem efeitos relativísticos é dado por p = m v, onde m é a massa e v a velocidade. A unidade de p é \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

Primeiro converto a massa para o SI (quilogramas). O enunciado deu m = 400\\ \mathrm{g}. Como 1\\ \mathrm{kg} = 1000\\ \mathrm{g},
m = 400\\ \mathrm{g} = 0{,}400\\ \mathrm{kg}.
Agora calculo o momento linear:
p = m v = 0{,}400\\ \mathrm{kg}\times 10\\ \mathrm{m/s} = 4{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Observe as unidades: \mathrm{kg\cdot m/s} é a unidade correta para p.

Passo 4

Aplico a fórmula de Broglie para obter \lambda em metros:
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}{4{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}}.
Lembre que 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}, então as unidades ficam:
\frac{\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{kg\cdot m/s}} = \mathrm{m},
ou seja, o resultado estará em metros como esperado. Agora faço a conta em notação científica:
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{4{,}0} = 1{,}6565\times10^{-34}\\ \mathrm{m}.
(Para dividir em notação científica, dividi 6{,}626 por 4{,}0 obtendo 1{,}6565 e mantive o expoente 10^{-34}.)

Passo 5

Agora converto o resultado para nanômetros. Como 1\\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\\ \mathrm{m}, então para passar de metros para nanômetros multiplica-se por 10^{9}:
\lambda = 1{,}6565\times10^{-34}\\ \mathrm{m} \times 10^{9} = 1{,}6565\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}.
Arredondando sensivelmente (os dados dados têm pelo menos dois algarismos significativos), podemos escrever:
\lambda \approx 1{,}66\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação rápida (útil para a prova): esse valor é absurdamente pequeno — muito menor que o tamanho de um núcleo atômico ou de um elétron — o que explica por que efeitos de onda são totalmente desprezíveis para objetos macroscópicos como uma bola de futebol. Isso também mostra como a constante de Planck torna relevantes ondas só em escalas muito pequenas.

Resposta

1{,}66\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}

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