Um elétron livre, inicialmente em repouso, é acelerado no vácuo por uma diferença de potencial de 54 V . Calcule a energia cinética final deste elétron (em eV) e determine o seu comprimento de onda de de Broglie (em nm). Compare esse valor com o espaçamento típico entre átomos em um cristal (cerca de 0,1 a 0,3 \mathrm{~nm} ) e conclua se a difração é possível.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece uma informação principal:
  • O que é pedido:
    1. Calcular a energia cinética final do elétron (em \mathrm{eV}).
    2. Determinar o comprimento de onda de de Broglie do elétron (em \mathrm{nm}).
    3. Comparar esse comprimento de onda com o espaçamento típico entre átomos em um cristal (cerca de 0{,}1 a 0{,}3\\ \mathrm{nm}) e concluir se a difração é possível.
  • O que é dado:
    • Um elétron livre, inicialmente em repouso, é acelerado por uma diferença de potencial de \,54\\ \mathrm{V}\,.

Passo 2

Entendendo como a diferença de potencial converte energia elétrica em energia cinética: quando uma carga q atravessa uma diferença de potencial \Delta V, a energia adquirida é
\Delta E = q\,\Delta V.
Para um elétron q=-e (o sinal só indica a direção), a energia cinética adquirida em joules é
K = e\,\Delta V,
onde \,e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\, é a carga elementar. Se quiser a energia em elétron-volts, a relação é direta: um elétron acelerado por \,1\\ \mathrm{V}\, ganha 1\\ \mathrm{eV}. Portanto, em \mathrm{eV},
K\;(\mathrm{eV})=\Delta V\;(\mathrm{V}).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: \Delta V=54\\ \mathrm{V}. Logo
K = 54\\ \mathrm{eV}.
Se for útil em joules, converte-se por 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K = 54\times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=8{,}651753824\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 8{,}65\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora a de Broglie: toda partícula com momento linear p tem comprimento de onda de Broglie
\lambda = \frac{h}{p},
onde h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} é a constante de Planck. Para uma partícula não relativística com energia cinética K válida nessa aproximação, o momento satisfaz
p=\sqrt{2 m K},
onde m é a massa da partícula. Para o elétron usamos m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Antes de aplicar, verificamos se a aproximação não relativística é aceitável: a energia de repouso do elétron é m_e c^2\approx 511000\\ \mathrm{eV}, e aqui 54\\ \mathrm{eV}\ll 511000\\ \mathrm{eV}, então a aproximação não relativística é perfeitamente adequada.

Passo 5

Calcular o momento passo a passo. Usando K em joules:
p=\sqrt{2 m_e K}
p=\sqrt{2\times(9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\times(8{,}651753824\times10^{-18}\\ \mathrm{J})}.
Multiplicando dentro da raiz:
2m_eK \approx 1{,}5762427\times10^{-47}\\ \mathrm{kg^2\,m^2/s^2}.
Tirando a raiz:
p \approx 3{,}972\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.

Passo 6

Agora o comprimento de onda:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{3{,}972\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}}.
Isso dá
\lambda \approx 1{,}6677\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}16677\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}167\\ \mathrm{nm}.
Observação prática: existe uma fórmula aproximada útil para elétrons não relativísticos acelerados por uma diferença de potencial \,V (em volts):
\lambda(\mathrm{nm})\approx\frac{1{,}226}{\sqrt{V(\mathrm{V})}}.
Aplicando V=54 obtém-se \lambda\approx 1{,}226/\sqrt{54}\approx 0{,}167\\ \mathrm{nm}, igual ao valor calculado acima.

Passo 7

Comparação com o espaçamento atômico: o comprimento de onda calculado é \lambda\approx 0{,}167\\ \mathrm{nm}, que fica dentro do intervalo típico de espaçamentos atômicos em cristais 0{,}1 a 0{,}3\\ \mathrm{nm}. Como a difração ocorre quando a dimensão do arranjo estrutural é da ordem do comprimento de onda da partícula incidente, esse valor de \lambda é compatível com a ocorrência de difração por um cristal. Conclusão física: sim, difração de elétrons é possível nesse caso (é exatamente a base de técnicas como a difração de elétrons em eletrônica e microscopia eletrônica).

Resposta

K=54\\ \mathrm{eV}
\lambda\approx0{,}167\\ \mathrm{nm}
Difração: possível (pois \lambda está entre 0{,}1 e 0{,}3\\ \mathrm{nm}).

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