Um elétron livre, inicialmente em repouso, é acelerado no vácuo por uma diferença de potencial de 54 V . Calcule a energia cinética final deste elétron (em eV) e determine o seu comprimento de onda de de Broglie (em nm). Compare esse valor com o espaçamento típico entre átomos em um cristal (cerca de 0,1 a
) e conclua se a difração é possível.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece uma informação principal:
- O que é pedido:
- Calcular a energia cinética final do elétron (em
). - Determinar o comprimento de onda de de Broglie do elétron (em
). - Comparar esse comprimento de onda com o espaçamento típico entre átomos em um cristal (cerca de
a ) e concluir se a difração é possível.
- Calcular a energia cinética final do elétron (em
- O que é dado:
- Um elétron livre, inicialmente em repouso, é acelerado por uma diferença de potencial de
.
- Um elétron livre, inicialmente em repouso, é acelerado por uma diferença de potencial de
Passo 2
Entendendo como a diferença de potencial converte energia elétrica em energia cinética: quando uma carga
atravessa uma diferença de potencial
, a energia adquirida é
Para um elétron
(o sinal só indica a direção), a energia cinética adquirida em joules é
onde
é a carga elementar. Se quiser a energia em elétron-volts, a relação é direta: um elétron acelerado por
ganha
. Portanto, em
,
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
. Logo
Se for útil em joules, converte-se por
:
Passo 4
Agora a de Broglie: toda partícula com momento linear
tem comprimento de onda de Broglie
onde
é a constante de Planck. Para uma partícula não relativística com energia cinética
válida nessa aproximação, o momento satisfaz
onde
é a massa da partícula. Para o elétron usamos
. Antes de aplicar, verificamos se a aproximação não relativística é aceitável: a energia de repouso do elétron é
, e aqui
, então a aproximação não relativística é perfeitamente adequada.
Passo 5
Calcular o momento passo a passo. Usando
em joules:
Multiplicando dentro da raiz:
Tirando a raiz:
Passo 6
Agora o comprimento de onda:
Isso dá
Observação prática: existe uma fórmula aproximada útil para elétrons não relativísticos acelerados por uma diferença de potencial
(em volts):
Aplicando
obtém-se
, igual ao valor calculado acima.
Passo 7
Comparação com o espaçamento atômico: o comprimento de onda calculado é
, que fica dentro do intervalo típico de espaçamentos atômicos em cristais
a
. Como a difração ocorre quando a dimensão do arranjo estrutural é da ordem do comprimento de onda da partícula incidente, esse valor de
é compatível com a ocorrência de difração por um cristal. Conclusão física: sim, difração de elétrons é possível nesse caso (é exatamente a base de técnicas como a difração de elétrons em eletrônica e microscopia eletrônica).
Resposta
Difração: possível (pois