Um átomo de hidrogênio, inicialmente no nível fundamental, absorve um fóton que o excita até o nível
4. (a) Use o modelo de Bohr para determinar o comprimento de onda deste fóton. (b) Se o momento angular é conservado, qual deveria ser o momento angular do fóton que foi absorvido? (Este resultado é diferente do obtido usando a mecânica quântica).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um átomo de hidrogênio que absorve um fóton e é excitado do nível fundamental (n=1) para o nível n=4. Vamos usar o modelo de Bohr, que descreve os níveis de energia dos elétrons no átomo de hidrogênio. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como calcular a diferença de energia entre os níveis e relacionar isso com o comprimento de onda do fóton absorvido. Também vamos explorar o conceito de momento angular no contexto do modelo de Bohr.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: determinar o comprimento de onda do fóton que está sendo absorvido para excitar o elétron de n=1 para n=4 usando o modelo de Bohr.
No modelo de Bohr, a energia de um elétron em um nível n é dada pela fórmula:
Aqui, 13,6 eV é a energia do nível fundamental (n=1).
Passo 3
Para encontrar a energia do fóton absorvido, precisamos calcular a diferença de energia entre os níveis n=4 e n=1:
Vamos calcular cada energia:
Então, a diferença de energia é:
Passo 4
Agora que temos a energia do fóton, podemos relacioná-la com o comprimento de onda usando a fórmula:
Onde:
- $ E $ é a energia do fóton
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J \cdot s $)
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^8 , m/s $)
- $ \lambda $ é o comprimento de onda que queremos encontrar
Primeiro, precisamos converter a energia de elétron-volt (eV) para joules (J):
Então,
Passo 5
Agora, rearranjamos a fórmula $ E = \frac{hc}{\lambda} $ para encontrar $ \lambda $:
Substituindo os valores:
Convertendo para nanômetros (1 m = $ 10^9 $ nm):
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: determinar o momento angular do fóton absorvido, assumindo que o momento angular é conservado.
No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
Onde $ n $ é o número quântico principal e $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $.
Sabemos que o momento angular total deve ser conservado. Quando o átomo absorve um fóton, o fóton também possui momento angular, que deve ser considerado na conservação.
O fóton tem momento angular dado por:
Usando o comprimento de onda que encontramos anteriormente ($ \lambda = 97,5 , nm $):
Esse valor é diferente do obtido pela mecânica quântica, onde consideramos que o momento angular do fóton é quantizado e dado por $ \hbar $.
Resposta
(a) O comprimento de onda do fóton absorvido é aproximadamente 97,5 nm.
(b) O momento angular do fóton absorvido, considerando a conservação no modelo de Bohr, é aproximadamente $ 6,8 \times 10^{-27} , kg \cdot m^2/s $.