A energia cinética máxima dada ao elétron em um evento de espalhamento Compton desempenha um papel central na medição de espectro de raios gama usando detectores de cintilação. O valor máximo é referido como limite Compton. Suponha que o limite Compton em uma experiência específica seja de 520 keV. Quais foram (a) a energia e (b) o comprimento de onda dos raios gama incidentes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está falando sobre o Espalhamento Compton, que é um fenômeno da física que descreve como raios gama (uma forma de radiação eletromagnética de alta energia) interagem com elétrons. O exercício menciona o limite Compton, que é a energia máxima que um elétron pode ganhar durante esse espalhamento. A gente precisa descobrir:
a) A energia dos raios gama incidentes.
b) O comprimento de onda desses raios gama.
Pra isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a energia máxima transferida para o elétron com a energia dos raios gama.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona a energia máxima transferida para o elétron ($ T_{max} Tmax E_\gamma $). A fórmula é:
Egamma
Onde:
  • $ T_{max} $ é a energia cinética máxima do elétron.
  • $ E_\gamma $ é a energia dos raios gama incidentes.
  • $ m_e $ é a massa do elétron ( Tmax = 2 Egamma^2me c^2 + 2 Egamma kg).
  • $ c $ é a velocidade da luz ( Tmax m/s).
Essa fórmula nos ajuda a relacionar a energia máxima que o elétron pode ganhar com a energia dos raios gama.

Passo 3

Agora, vamos isolar $ E_\gamma $ na fórmula para descobrir a energia dos raios gama. Começamos com:
Egamma
Multiplicando ambos os lados por $ m_e c^2 + 2 E_\gamma $:
Tmax = 2 Egamma^2me c^2 + 2 Egamma
Distribuindo o $ T_{max} $:
me c^2 + 2 Egamma
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Tmax (me c^2 + 2 Egamma) = 2 Egamma^2
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Tmax
Agora, temos uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $, onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -T_{max} $
  • $ c = -\frac{T_{max} m_e c^2}{2} $

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para $ E_\gamma $ usando a fórmula de Bhaskara:
Egamma
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
Egamma = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como a energia não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
a
Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, precisamos converter $ T_{max} $ para joules, já que as unidades do Sistema Internacional (SI) são mais convenientes para cálculos:
b
Agora, calculamos $ m_e c^2 $:
c
Substituindo na fórmula de $ E_\gamma $:
Egamma = Tmax pm raizTmax^2 + 2 Tmax me c^22
Vamos simplificar os cálculos dentro da raiz:
Egamma = Tmax + raizTmax^2 + 2 Tmax me c^22
Tmax
Tmax = 520 , keV = 520 times 10^3 , eV = 520 times 10^3 times 1,602 times 10^-19 , J approx 8,33 times 10^-14 , J
Então,
me c^2
Agora, convertendo de volta para keV:
me c^2 = 9,11 times 10^-31 , kg times (3,00 times 10^8 , m/s)^2 = 8,19 times 10^-14 , J

Passo 5

Agora que temos a energia dos raios gama ($ E_\gamma Egamma \lambda $) usando a relação entre energia e comprimento de onda:
lambda
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ( E = hclambda J·s).
  • $ c $ é a velocidade da luz ( h m/s).
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
6,626 times 10^-34
Substituindo os valores:
c
Convertendo para nanômetros (1 m = 3,00 times 10^8 nm):
lambda

Resposta

(a) A energia dos raios gama incidentes é aproximadamente 1682 keV.
(b) O comprimento de onda dos raios gama incidentes é aproximadamente 0,739 picômetros (pm).

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