A energia cinética máxima dada ao elétron em um evento de espalhamento Compton desempenha um papel central na medição de espectro de raios gama usando detectores de cintilação. O valor máximo é referido como limite Compton. Suponha que o limite Compton em uma experiência específica seja de 520 keV. Quais foram (a) a energia e (b) o comprimento de onda dos raios gama incidentes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está falando sobre o Espalhamento Compton, que é um fenômeno da física que descreve como raios gama (uma forma de radiação eletromagnética de alta energia) interagem com elétrons. O exercício menciona o limite Compton, que é a energia máxima que um elétron pode ganhar durante esse espalhamento. A gente precisa descobrir:
a) A energia dos raios gama incidentes.
b) O comprimento de onda desses raios gama.
Pra isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a energia máxima transferida para o elétron com a energia dos raios gama.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona a energia máxima transferida para o elétron ($ T_{max}
E_\gamma $). A fórmula é:
Onde:
- $ T_{max} $ é a energia cinética máxima do elétron.
- $ E_\gamma $ é a energia dos raios gama incidentes.
- $ m_e $ é a massa do elétron (
kg). - $ c $ é a velocidade da luz (
m/s).
Essa fórmula nos ajuda a relacionar a energia máxima que o elétron pode ganhar com a energia dos raios gama.
Passo 3
Agora, vamos isolar $ E_\gamma $ na fórmula para descobrir a energia dos raios gama. Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por $ m_e c^2 + 2 E_\gamma $:
Distribuindo o $ T_{max} $:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, temos uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $, onde:
- $ a = 1 $
- $ b = -T_{max} $
- $ c = -\frac{T_{max} m_e c^2}{2} $
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para $ E_\gamma $ usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
Como a energia não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, precisamos converter $ T_{max} $ para joules, já que as unidades do Sistema Internacional (SI) são mais convenientes para cálculos:
Agora, calculamos $ m_e c^2 $:
Substituindo na fórmula de $ E_\gamma $:
Vamos simplificar os cálculos dentro da raiz:
Então,
Agora, convertendo de volta para keV:
Passo 5
Agora que temos a energia dos raios gama ($ E_\gamma
\lambda $) usando a relação entre energia e comprimento de onda:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck (
J·s). - $ c $ é a velocidade da luz (
m/s).
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
Substituindo os valores:
Convertendo para nanômetros (1 m =
nm):
Resposta
(a) A energia dos raios gama incidentes é aproximadamente 1682 keV.
(b) O comprimento de onda dos raios gama incidentes é aproximadamente 0,739 picômetros (pm).