Um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso no estado n=3, sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo um fóton no processo. Qual é a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um átomo de hidrogênio que está parado no estado excitado n=3 e faz uma transição para o estado fundamental ( n=1), emitindo um fóton nesse processo. O que a gente quer saber é qual a velocidade com que o átomo vai recuar depois de emitir esse fóton. Vamos precisar entender de energia dos estados do hidrogênio e da conservação do momento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia liberada nessa transição. Os níveis de energia de um átomo de hidrogênio são dados pela fórmula:
En = -13,6, eVn^2
Aqui, En é a energia no nível n e 13,6 eV é a energia do estado fundamental ( n=1).

Passo 3

Vamos calcular a energia nos estados n=3 e n=1:
Para n=3:
E3 = -13,6, eV3^2 = -13,6, eV9 approx -1,51, eV
Para n=1:
E1 = -13,6, eV1^2 = -13,6, eV

Passo 4

A energia liberada na transição é a diferença entre essas duas energias:
De
O sinal negativo indica que a energia é liberada.

Passo 5

Agora, vamos converter essa energia de elétron-volts para joules, já que a unidade padrão do Sistema Internacional para energia é o joule (J):
1, eV = 1,602 times 10^-19, J
Então,
De

Passo 6

Quando o fóton é emitido, ele carrega um momento. Pela conservação do momento, o átomo precisa recuar com um momento igual e oposto ao do fóton para que o momento total permaneça zero.
O momento do fóton ( pfótonó) é dado por:
pfóton = Ec ó
Onde E é a energia do fóton e c é a velocidade da luz ( c approx 3 times 10^8, m/s).

Passo 7

Vamos calcular o momento do fóton:
pfóton = 1,936 times 10^-18, J3 times 10^8, m/s approx 6,45 times 10^-27, kgcdotm/s ó

Passo 8

Agora, pelo princípio da conservação do momento:
pátomo = -pfóton áó
O momento do átomo ( pátomoá) é também dado por:
pátomo = M times v á
Onde M é a massa do átomo de hidrogênio (aproximadamente 1,67 times 10^-27, kg) e v é a velocidade de recuo que queremos encontrar.
Então,
M times v = 6,45 times 10^-27, kgcdotm/s

Passo 9

Vamos resolver para v:
v = 6,45 times 10^-27, kgcdotm/s1,67 times 10^-27, kg approx 3,86, m/s

Resposta

A velocidade de recuo do átomo de hidrogênio é aproximadamente 3,86, m/s.

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