Considere a experiência de Franck-Hertz com vapor de Hg no tubo e com uma tensão de
entre o cátodo e a grade, ou seja, não é suficiente para os elétrons excitarem os átomos de Hg para o primeiro estado excitado. Portanto, as colisões entre elétrons e átomos de Hg são elásticas. (a) Se a energia cinética dos elétrons é
, mostre que a energia cinética máxima que um átomo de Hg recuado pode ter é aproximadamente
, onde
é a massa de átomos de
. (b) Qual é a energia cinética máxima aproximada que pode ser perdida por um elétron com
? Dados:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando da experiência de Franck-Hertz, que estuda como os elétrons colidem com átomos de mercúrio (Hg) dentro de um tubo. A questão aborda colisões elásticas, ou seja, onde a energia total é conservada. Precisamos usar conceitos de energia cinética e conservação de momento para resolver os problemas propostos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a) da questão. Queremos mostrar que a energia cinética máxima que um átomo de Hg pode ganhar após a colisão é aproximadamente $ \frac{4m E_k}{M} $, onde:
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ E_k $ é a energia cinética dos elétrons,
- $ M $ é a massa do átomo de Hg.
Passo 3
Para isso, usamos a conservação do momento e da energia cinética em uma colisão elástica. A fórmula geral para a energia cinética transferida em uma colisão elástica entre duas partículas é:
Quando $ M $ (massa do Hg) é muito maior que $ m $ (massa do elétron), podemos simplificar essa expressão.
Passo 4
Como $ M \gg m $, o termo $ (m + M)^2 $ aproximadamente é $ M^2 $. Então, a expressão para $ E’ $ fica:
Portanto, mostramos que a energia cinética máxima que o átomo de Hg pode ganhar é $ \frac{4 m E_k}{M} $.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a energia cinética máxima que pode ser perdida por um elétron com $ E_k = 2,5 $ eV. Usando a fórmula que encontramos:
Precisamos substituir os valores dados.
Passo 6
Primeiro, convertemos a energia cinética de elétron para joules, já que a massa está em kg. Sabemos que $ 1 $ eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J. Então:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Passo 8
Fazendo as contas:
Passo 9
Convertendo de volta para eV:
Resposta
A energia cinética máxima que pode ser perdida por um elétron com $ E_{k} = 2,5 $ eV é aproximadamente $ 2,7 \times 10^{-5} $ eV.