Considere a experiência de Franck-Hertz com vapor de Hg no tubo e com uma tensão de 4,0 V entre o cátodo e a grade, ou seja, não é suficiente para os elétrons excitarem os átomos de Hg para o primeiro estado excitado. Portanto, as colisões entre elétrons e átomos de Hg são elásticas. (a) Se a energia cinética dos elétrons é Ek, mostre que a energia cinética máxima que um átomo de Hg recuado pode ter é aproximadamente 4 m Ek / M, onde M é a massa de átomos de H g. (b) Qual é a energia cinética máxima aproximada que pode ser perdida por um elétron com Ek=2,5 eV? Dados: MH g=3,33 times 10^-25 kg.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando da experiência de Franck-Hertz, que estuda como os elétrons colidem com átomos de mercúrio (Hg) dentro de um tubo. A questão aborda colisões elásticas, ou seja, onde a energia total é conservada. Precisamos usar conceitos de energia cinética e conservação de momento para resolver os problemas propostos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte (a) da questão. Queremos mostrar que a energia cinética máxima que um átomo de Hg pode ganhar após a colisão é aproximadamente $ \frac{4m E_k}{M} $, onde:
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ E_k $ é a energia cinética dos elétrons,
  • $ M $ é a massa do átomo de Hg.

Passo 3

Para isso, usamos a conservação do momento e da energia cinética em uma colisão elástica. A fórmula geral para a energia cinética transferida em uma colisão elástica entre duas partículas é:
E' = 4 m M(m + M)^2 Ek
Quando $ M $ (massa do Hg) é muito maior que $ m $ (massa do elétron), podemos simplificar essa expressão.

Passo 4

Como $ M \gg m $, o termo $ (m + M)^2 $ aproximadamente é $ M^2 $. Então, a expressão para $ E’ $ fica:
M gg m
Portanto, mostramos que a energia cinética máxima que o átomo de Hg pode ganhar é $ \frac{4 m E_k}{M} $.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a energia cinética máxima que pode ser perdida por um elétron com $ E_k = 2,5 $ eV. Usando a fórmula que encontramos:
Ek = 2,5
Precisamos substituir os valores dados.

Passo 6

Primeiro, convertemos a energia cinética de elétron para joules, já que a massa está em kg. Sabemos que $ 1 $ eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J. Então:
1

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula:
E' = 4 times 9,109 times 10^-31 , kg times 4,005 times 10^-19 , J3,33 times 10^-25 , kg

Passo 8

Fazendo as contas:
E' = 4 times 9,109 times 10^-31 times 4,005 times 10^-193,33 times 10^-25 approx 1,457 times 10^-483,33 times 10^-25 approx 4,375 times 10^-24 , J

Passo 9

Convertendo de volta para eV:
E' approx 4,375 times 10^-24 , J1,602 times 10^-19 , J/eV approx 2,73 times 10^-5 , eV

Resposta

A energia cinética máxima que pode ser perdida por um elétron com $ E_{k} = 2,5 $ eV é aproximadamente $ 2,7 \times 10^{-5} $ eV.

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