A solução do oscilador harmónico simples ( \ddot{x}+\omega_{0} x=0, onde \ddot{x} \equiv \frac{d^{2} x}{d t^{2}} ) pode ser escrita da seguinte forma:
\ddot{x}(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right) onde A e B podem ser determinadas utilizando as condições de contorno.
a) Determine a expressão de A e B em termos da posição inicial e velocidade inicial.
b) Mostre que a solução geral pode ser escrita da forma: \ddot{x}(t)= C \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right). Ou seja, partindo de \ddot{x}(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+ B \operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right) chege à C \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador harmónico simples e afirma que a solução pode ser escrita como \ddot{x}(t)=A \cos\bigl(\omega_{0} t\bigr)+B \sin\bigl(\omega_{0} t\bigr) (vamos interpretar isso como a forma usual da solução x(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)).
As perguntas são:
(a) Determinar A e B em termos da posição inicial e da velocidade inicial.
(b) Mostrar que a combinação A\cos\bigl(\omega_{0} t\bigr)+B\sin\bigl(\omega_{0} t\bigr) pode ser reescrita na forma C\cos\bigl(\omega_{0} t+\varphi\bigr).
Informações relevantes dadas que usaremos:
\ - A solução geral é da forma \;x(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t).
\ - Condições iniciais típicas (implícitas): posição inicial x(0)=x_{0} e velocidade inicial \dot{x}(0)=v_{0}.
A resolução começará a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos usar as condições iniciais para obter A e B. Primeiro avaliamos a solução em t=0.
A posição inicial é
x(0)=A\cos(0)+B\sin(0).
Sabendo que \cos(0)=1 e \sin(0)=0, isso dá
x(0)=A.
Logo
A=x_{0}.
Explicação didática: quando eu substituo t=0 numa combinação de \cos(\omega_0 t) e \sin(\omega_0 t), só o termo em \cos sobrevive porque \cos(0)=1 e \sin(0)=0. Assim A é simplesmente a posição inicial.

Passo 3

Agora vamos diferenciar x(t) para relacionar com a velocidade inicial. Regra usada: derivada de \cos(\omega_0 t) é -\omega_0\sin(\omega_0 t) e derivada de \sin(\omega_0 t) é \omega_0\cos(\omega_0 t). Isso vem da regra da cadeia: d(\cos(kt))/dt = -k\sin(kt).
Assim
\dot{x}(t) = -A\omega_{0}\sin(\omega_{0} t) + B\omega_{0}\cos(\omega_{0} t).
Avaliamo-la em t=0:
\dot{x}(0)= -A\omega_{0}\sin(0) + B\omega_{0}\cos(0) = B\omega_{0}.
Portanto
B=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}.
Didática curta: a velocidade inicial é a derivada no instante zero; como \sin(0)=0 e \cos(0)=1, só o termo proporcional a B contribui, dando B=v_0/\omega_0.

Passo 4

Resumo das respostas do item (a) (já obtemos A e B em termos das condições iniciais):
A = x_{0},\qquad B=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}.
Observação de prova: estas fórmulas são fáceis de memorizar na prova — basta avaliar x(t) e \dot{x}(t) em t=0.

Passo 5

Agora provamos o item (b): reescrever
A\cos(\omega_{0} t)+B\sin(\omega_{0} t)
na forma
C\cos(\omega_{0} t+\varphi).
Estratégia: usar a identidade trigonométrica
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Escolhemos um ângulo \alpha tal que
\cos\alpha=\frac{A}{C},\qquad \sin\alpha=\frac{B}{C},
onde C será definido a seguir. (Isso é possível desde que escolhamos C>0.)
Definimos
C=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Então as razões \frac{A}{C} e \frac{B}{C} satisfazem \bigl(\frac{A}{C}\bigr)^{2}+\bigl(\frac{B}{C}\bigr)^{2}=1, então existem \alpha com essas cosseno e seno (escolha padrão \alpha=\operatorname{atan2}(B,A) para o quadrante correto).
Agora calcule
C\cos\bigl(\omega_{0} t-\alpha\bigr) = C\bigl(\cos(\omega_{0} t)\cos\alpha + \sin(\omega_{0} t)\sin\alpha\bigr).
Substituindo \cos\alpha=A/C e \sin\alpha=B/C obtemos
C\cos\bigl(\omega_{0} t-\alpha\bigr) = A\cos(\omega_{0} t)+B\sin(\omega_{0} t),
que é exatamente a combinação original.
Para escrever no formato pedido C\cos(\omega_{0} t+\varphi) basta tomar \varphi=-\alpha. Assim existe \varphi (e uma escolha conveniente é \varphi=-\operatorname{atan2}(B,A)) tal que
A\cos(\omega_{0} t)+B\sin(\omega_{0} t)=C\cos(\omega_{0} t+\varphi).
Didática: a ideia é que uma soma de seno e cosseno da mesma frequência é um único cosseno com amplitude ajustada e deslocamento de fase. A amplitude é a norma do vetor (A,B) e a fase é o ângulo desse vetor no plano.

Passo 6

Expressando \varphi em termos de A e B: a partir de \cos\alpha=A/C e \sin\alpha=B/C temos \alpha=\operatorname{atan2}(B,A). Como \varphi=-\alpha,
\varphi = -\operatorname{atan2}(B,A).
Se preferir a forma elementar, quando A>0 pode escrever
\varphi = -\arctan\!\biggl(\frac{B}{A}\biggr).
Finalmente, substituindo A e B das condições iniciais, obtemos explicitamente em função de x_{0} e v_{0}:
C=\sqrt{x_{0}^{2}+\biggl(\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\biggr)^{2}},\qquad \varphi=-\operatorname{atan2}\!\biggl(\frac{v_{0}}{\omega_{0}},\,x_{0}\biggr).

Resposta

(a) A = x_{0},\quad B=\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}.
(b) C=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\quad \varphi=-\operatorname{atan2}(B,A), ou seja
A\cos(\omega_{0} t)+B\sin(\omega_{0} t)=C\cos(\omega_{0} t+\varphi),
e, em termos das condições iniciais,
C=\sqrt{x_{0}^{2}+\Bigl(\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}\Bigr)^{2}},\quad \varphi=-\operatorname{atan2}\!\Bigl(\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}},\,x_{0}\Bigr).

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