A solução do oscilador harmónico simples (
, onde
) pode ser escrita da seguinte forma:
onde
e
podem ser determinadas utilizando as condições de contorno.
a) Determine a expressão de
e
em termos da posição inicial e velocidade inicial.
b) Mostre que a solução geral pode ser escrita da forma:
. Ou seja, partindo de
chege à
a) Determine a expressão de
b) Mostre que a solução geral pode ser escrita da forma:
Passo 1
O enunciado dá a equação do oscilador harmónico simples e afirma que a solução pode ser escrita como
(vamos interpretar isso como a forma usual da solução
).
As perguntas são:
As perguntas são:
(a) Determinar
e
em termos da posição inicial e da velocidade inicial.
(b) Mostrar que a combinação pode ser reescrita na forma
.
(b) Mostrar que a combinação
Informações relevantes dadas que usaremos:
- A solução geral é da forma
.
- Condições iniciais típicas (implícitas): posição inicial
e velocidade inicial
.
A resolução começará a partir dessas informações.
A resolução começará a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos usar as condições iniciais para obter
e
. Primeiro avaliamos a solução em
.
A posição inicial é
Sabendo que
e
, isso dá
Logo
Explicação didática: quando eu substituo
numa combinação de
e
, só o termo em
sobrevive porque
e
. Assim
é simplesmente a posição inicial.
Passo 3
Agora vamos diferenciar
para relacionar com a velocidade inicial. Regra usada: derivada de
é
e derivada de
é
. Isso vem da regra da cadeia:
.
Assim
Avaliamo-la em
:
Portanto
Didática curta: a velocidade inicial é a derivada no instante zero; como
e
, só o termo proporcional a
contribui, dando
.
Passo 4
Resumo das respostas do item (a) (já obtemos
e
em termos das condições iniciais):
Observação de prova: estas fórmulas são fáceis de memorizar na prova — basta avaliar
e
em
.
Passo 5
Agora provamos o item (b): reescrever
na forma
Estratégia: usar a identidade trigonométrica
Escolhemos um ângulo
tal que
onde
será definido a seguir. (Isso é possível desde que escolhamos
.)
Definimos
Então as razões
e
satisfazem
, então existem
com essas cosseno e seno (escolha padrão
para o quadrante correto).
Agora calcule
Substituindo
e
obtemos
que é exatamente a combinação original.
Para escrever no formato pedido
basta tomar
. Assim existe
(e uma escolha conveniente é
) tal que
Didática: a ideia é que uma soma de seno e cosseno da mesma frequência é um único cosseno com amplitude ajustada e deslocamento de fase. A amplitude é a norma do vetor
e a fase é o ângulo desse vetor no plano.
Passo 6
Expressando
em termos de
e
: a partir de
e
temos
. Como
,
Se preferir a forma elementar, quando
pode escrever
Finalmente, substituindo
e
das condições iniciais, obtemos explicitamente em função de
e
:
Resposta
(a)
(b)
, ou seja
e, em termos das condições iniciais,