Para o íon , faça o que se pede:
Considere como função de onda tentativa o produto das funções de onda espaciais e de spin para o átomo de hidrogênio .
Escreva as funções de onda simétricas e assimétricas e os determinantes de Slater usados para representá-las.
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre o íon , que é basicamente uma lítio com uma carga positiva extra. A gente vai trabalhar com funções de onda, especificamente com as funções de onda espaciais e de spin, usando as funções do átomo de hidrogênio como base. O objetivo é criar funções de onda simétricas e assimétricas e depois escrever os determinantes de Slater que representam essas funções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, simetria, e determinantes de Slater, que são ferramentas usadas para garantir que a função de onda total dos elétrons respeite o princípio de exclusão de Pauli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para sistemas de múltiplas partículas, como elétrons em um íon, a função de onda total precisa ser simétrica ou assimétrica em relação à troca das partículas, dependendo se são bósons ou férmions. No caso dos elétrons, que são férmions, a função de onda total deve ser assimétrica quando trocamos dois elétrons. Isso significa que se a gente trocar as posições (espaciais e de spin) de dois elétrons, a função de onda muda de sinal.
Passo 3
A função de onda tentativa que a gente tem é o produto das funções de onda espaciais e de spin para cada elétron, ou seja:
Aqui, e são as funções de onda espaciais do átomo de hidrogênio para os elétrons 1 e 2, respectivamente, e e representam os estados de spin (spin up e spin down).
Passo 4
Para construir as funções de onda simétricas e assimétricas, vamos combinar essas funções de onda espaciais e de spin de duas maneiras:
Simétrica: A função de onda permanece a mesma quando trocamos os elétrons.
Assimétrica: A função de onda muda de sinal quando trocamos os elétrons.
Vamos fazer isso combinando os produtos diretos das funções espaciais e de spin.
Passo 5
A função de onda simétrica pode ser escrita como:
Já a função de onda assimétrica fica:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre os determinantes de Slater. Eles são uma maneira elegante de garantir que a função de onda total seja sempre assimétrica, cumprindo o princípio de exclusão de Pauli. Um determinante de Slater para dois elétrons é uma matriz onde cada linha representa um elétron e cada coluna representa uma função de onda (espacial e de spin).
Passo 7
Para as funções de onda simétricas e assimétricas que criamos, os determinantes de Slater correspondentes são:
Determinante de Slater Simétrico:
Como os determinantes de Slater são intrinsicamente assimétricos, para obter uma combinação simétrica, precisaríamos formar combinações de determinantes que resultem em uma simetria. No entanto, normalmente usamos o determinante de Slater para garantir a assimetria. Portanto, focaremos no determinante assimétrico, que é a forma padrão.
Determinante de Slater Assimétrico:
Isso expande para exatamente a função de onda assimétrica que escrevemos anteriormente.
Resposta
As funções de onda simétricas e assimétricas para o íon Li^+ são: