Para o íon Li+1(Li^+), faça o que se pede:
Considere como função de onda tentativa o produto das funções de onda espaciais e de spin para o átomo de hidrogênio (1 s1(r1) alpha, 1 s2(r2) beta).
Escreva as funções de onda simétricas e assimétricas e os determinantes de Slater usados para representá-las.

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre o íon Li^+, que é basicamente uma lítio com uma carga positiva extra. A gente vai trabalhar com funções de onda, especificamente com as funções de onda espaciais e de spin, usando as funções do átomo de hidrogênio como base. O objetivo é criar funções de onda simétricas e assimétricas e depois escrever os determinantes de Slater que representam essas funções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, simetria, e determinantes de Slater, que são ferramentas usadas para garantir que a função de onda total dos elétrons respeite o princípio de exclusão de Pauli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas de múltiplas partículas, como elétrons em um íon, a função de onda total precisa ser simétrica ou assimétrica em relação à troca das partículas, dependendo se são bósons ou férmions. No caso dos elétrons, que são férmions, a função de onda total deve ser assimétrica quando trocamos dois elétrons. Isso significa que se a gente trocar as posições (espaciais e de spin) de dois elétrons, a função de onda muda de sinal.

Passo 3

A função de onda tentativa que a gente tem é o produto das funções de onda espaciais e de spin para cada elétron, ou seja:
Psitentativa = (1 s1(r1) alpha, 1 s2(r2) beta)
Aqui, 1 s1(r1) e 1 s2(r2) são as funções de onda espaciais do átomo de hidrogênio para os elétrons 1 e 2, respectivamente, e alpha e beta representam os estados de spin (spin up e spin down).

Passo 4

Para construir as funções de onda simétricas e assimétricas, vamos combinar essas funções de onda espaciais e de spin de duas maneiras:
  1. Simétrica: A função de onda permanece a mesma quando trocamos os elétrons.
  2. Assimétrica: A função de onda muda de sinal quando trocamos os elétrons.
Vamos fazer isso combinando os produtos diretos das funções espaciais e de spin.

Passo 5

A função de onda simétrica pode ser escrita como:
Psisimétrica = 1raiz2 [ 1 s1(r1) alpha(1) cdot 1 s2(r2) beta(2) + 1 s1(r2) alpha(2) cdot 1 s2(r1) beta(1) ] é
Já a função de onda assimétrica fica:
Psiassimétrica = 1raiz2 [ 1 s1(r1) alpha(1) cdot 1 s2(r2) beta(2) - 1 s1(r2) alpha(2) cdot 1 s2(r1) beta(1) ] é

Passo 6

Agora, vamos falar sobre os determinantes de Slater. Eles são uma maneira elegante de garantir que a função de onda total seja sempre assimétrica, cumprindo o princípio de exclusão de Pauli. Um determinante de Slater para dois elétrons é uma matriz onde cada linha representa um elétron e cada coluna representa uma função de onda (espacial e de spin).

Passo 7

Para as funções de onda simétricas e assimétricas que criamos, os determinantes de Slater correspondentes são:
  • Determinante de Slater Simétrico:
    Como os determinantes de Slater são intrinsicamente assimétricos, para obter uma combinação simétrica, precisaríamos formar combinações de determinantes que resultem em uma simetria. No entanto, normalmente usamos o determinante de Slater para garantir a assimetria. Portanto, focaremos no determinante assimétrico, que é a forma padrão.
  • Determinante de Slater Assimétrico:
    PsiSlater = 1raiz2 1 s1(r1) alpha(1) & 1 s2(r1) beta(1) 1 s1(r2) alpha(2) & 1 s2(r2) beta(2)
Isso expande para exatamente a função de onda assimétrica que escrevemos anteriormente.

Resposta

As funções de onda simétricas e assimétricas para o íon Li^+ são:
Psisimétrica = 1raiz2 [ 1 s1(r1) alpha(1) cdot 1 s2(r2) beta(2) + 1 s1(r2) alpha(2) cdot 1 s2(r1) beta(1) ] é
Psiassimétrica = 1raiz2 [ 1 s1(r1) alpha(1) cdot 1 s2(r2) beta(2) - 1 s1(r2) alpha(2) cdot 1 s2(r1) beta(1) ] é
E o determinante de Slater correspondente é:
PsiSlater = 1raiz2 1 s1(r1) alpha(1) & 1 s2(r1) beta(1) 1 s1(r2) alpha(2) & 1 s2(r2) beta(2)

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