Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar
(emitindo partículas e se transformando em outro elemento químico), Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Supondo que certa quantidade
de um elemento radioativo com inicialmente m0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática:
m(t)=2.048 cdot 2^-0,5 t
Onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos).
a) Qual a quantidade inicial no instante t=0 ?
b) Quantos gramas da substância haverá após 10 minutos?
c) Em quanto tempo após o início do decaimento haverá 512 gramas?

Passo 1

O enunciado dá uma lei de decaimento exponencial
m(t)=2.048cdot 2^-0,5,t
onde t está em anos e m(t) em gramas. O conteúdo envolve funções exponenciais, conversão de unidades de tempo (minutos para anos) e resolução de equação exponencial.

Passo 2

Para encontrar a massa inicial m(0), basta substituir t=0 em
m(t)=2.048cdot 2^-0,5,t
obtemos
m(0)=2.048cdot 2^0=2.048 (g)

Passo 3

Para a massa após 10 minutos, primeiro convertemos 10 minutos para anos:
t=10 min60cdot24cdot365=10525600approx1,902times10^-5 anos
Então
ml(1,902times10^-5r) =2.048cdot 2^-0,5cdot1,902times10^-5 =2.048cdot2^-9,513times10^-6
Usando a aproximação 2^xapprox e^xln2 para x pequeno,
2^-9,513times10^-6approx1-9,513times10^-6ln2approx1-6,59times10^-6,
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mapprox2.048,(1-6,59times10^-6)approx2.0479865approx2,04799 (g)

Passo 4

Para achar t tal que m(t)=512 g, resolve-se
2.048cdot2^-0,5,t=512 Longrightarrow 2^-0,5,t=5122.048=0,25=2^-2
Assim
-0,5,t=-2 Longrightarrow t=4 anos

Resposta

a) m(0)=2,048 g.
b) m(10 min)approx2,04799 g.
c) t=4 anos.

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