Resolva
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O que vamos precisar é:
– encontrar a solução geral da equação homogênea associada (característica com raízes complexas);
– usar o método dos coeficientes determinados para obter uma solução particular.
– encontrar a solução geral da equação homogênea associada (característica com raízes complexas);
– usar o método dos coeficientes determinados para obter uma solução particular.
Passo 2
Resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
com raízes
. Portanto a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a solução particular
usamos o método dos coeficientes determinados. Como o termo forçante é
, supondo que não haja ressonância com as raízes homogêneas, tomamos
com
e
a determinar.
Passo 4
Calculamos
:
Substituindo em
obtemos
Isto é
Igualando coeficientes:
logo
Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma de
com
: