Resolva y^prime prime+9 y=5 cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = 5cos(2x)
O que vamos precisar é:
– encontrar a solução geral da equação homogênea associada (característica com raízes complexas);
– usar o método dos coeficientes determinados para obter uma solução particular.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y'' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0
com raízes r = pm 3i. Portanto a solução geral homogênea é
yh(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular yp usamos o método dos coeficientes determinados. Como o termo forçante é 5cos(2x), supondo que não haja ressonância com as raízes homogêneas, tomamos
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x),
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos yp'':
yp''(x) = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)
Substituindo em y'' + 9y = 5cos(2x) obtemos
(-4Acos(2x)-4Bsin(2x)) + 9(Acos(2x)+Bsin(2x)) = 5cos(2x)
Isto é
(5A)cos(2x) + (5B)sin(2x) = 5cos(2x) + 0sin(2x)
Igualando coeficientes:
5A = 5, 5B = 0
logo
A = 1, B = 0
Assim
yp(x) = cos(2x)

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + cos(2x)

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + cos(2x)

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