Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é delimitada pelos planos , , , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integração em três dimensões. Para resolver, a gente vai precisar entender como definir os limites de integração nesses três eixos e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é limitada pelos planos:
: o plano .
: o plano .
: o plano .
: um plano inclinado que corta os eixos e .
: outro plano inclinado que corta os eixos e .
Essa região é um tipo de prisma triangular que se estende ao longo do eixo .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e . A ideia é encontrar expressões que definem os intervalos em que cada variável varia dentro da região .
Para , observamos que ele varia de 0 até onde os planos e tocam o eixo . Quando e , temos . Então, varia de 0 a 1.
Para , dado um valor de , a equação nos dá . Portanto, varia de 0 a .
Para , similarmente, usando , temos . Então, varia de 0 a .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Aqui, integramos primeiro em relação a , depois em relação a , e por último em relação a .
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos com respeito a :
Agora, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 - z z(1 - z) , dy , dz
Passo 6
Em seguida, integramos com respeito a y:
integral0^1 - z z(1 - z) , dy = z(1 - z) cdot y |0^1 - z = z(1 - z)(1 - z) - z(1 - z)(0) = z(1 - z)^2
Agora, a integral fica:
integral0^1 z(1 - z)^2 , dz
Passo 7
Finalmente, vamos integrar com respeito a z. Primeiro, expandimos (1 - z)^2: