integral triplaE z d V, onde E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0, y+z=1 e x+z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE z , dV, onde a região E é delimitada pelos planos x=0, y=0, z=0, y+z=1 e x+z=1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integração em três dimensões. Para resolver, a gente vai precisar entender como definir os limites de integração nesses três eixos e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. Ela é limitada pelos planos:
  • x=0: o plano yz.
  • y=0: o plano xz.
  • z=0: o plano xy.
  • y + z = 1: um plano inclinado que corta os eixos y e z.
  • x + z = 1: outro plano inclinado que corta os eixos x e z.
Essa região é um tipo de prisma triangular que se estende ao longo do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para x, y e z. A ideia é encontrar expressões que definem os intervalos em que cada variável varia dentro da região E.
Para z, observamos que ele varia de 0 até onde os planos y + z = 1 e x + z = 1 tocam o eixo z. Quando x=0 e y=0, temos z=1. Então, z varia de 0 a 1.
Para y, dado um valor de z, a equação y + z = 1 nos dá y = 1 - z. Portanto, y varia de 0 a 1 - z.
Para x, similarmente, usando x + z = 1, temos x = 1 - z. Então, x varia de 0 a 1 - z.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaE z , dV = integral0^1 integral0^1 - z integral0^1 - z z , dx , dy , dz
Aqui, integramos primeiro em relação a x, depois em relação a y, e por último em relação a z.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos com respeito a x:
integral0^1 - z z , dx = z cdot x |0^1 - z = z(1 - z) - z(0) = z(1 - z)
Agora, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 - z z(1 - z) , dy , dz

Passo 6

Em seguida, integramos com respeito a y:
integral0^1 - z z(1 - z) , dy = z(1 - z) cdot y |0^1 - z = z(1 - z)(1 - z) - z(1 - z)(0) = z(1 - z)^2
Agora, a integral fica:
integral0^1 z(1 - z)^2 , dz

Passo 7

Finalmente, vamos integrar com respeito a z. Primeiro, expandimos (1 - z)^2:
(1 - z)^2 = 1 - 2z + z^2
Então, a integral se torna:
integral0^1 z(1 - 2z + z^2) , dz = integral0^1 (z - 2z^2 + z^3) , dz
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral z , dz = 12z^2
integral -2z^2 , dz = -23z^3
integral z^3 , dz = 14z^4
Avaliando de 0 a 1:
[ 12z^2 - 23z^3 + 14z^4 ]0^1 = ( 12 - 23 + 14 ) - 0 = 12 - 23 + 14
Convertendo para denominador comum (12):
612 - 812 + 312 = 112

Resposta

A integral tripla integral triplaE z , dV vale dfrac112.

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