Exercício 3 (2,5). Use a regra de L’Hopital para resolver os limites a seguir:
(a)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0^+l(1x-1sin xr)
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é reconhecer uma indeterminação do tipo infty-infty, reescrever como quociente para obter 0/0 e então aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevemos a diferença num único quociente:
1x-1sen x =sen x - xx,sen x
À medida que xto0, temos sen x - xto0 e x,sen xto0, caracterizando a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital na fração
sin x - xx,sin x
Derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
num' = cos x - 1, den' = ddxl(x,sin xr) = sin x + xcos x
Portanto o limite passa a ser
limxto0 cos x - 1sin x + xcos x,
que ainda é 0/0.

Passo 4

Reaplicamos L’Hôpital ao quociente
cos x - 1sin x + xcos x
As derivadas são
ddx(cos x - 1) = -sin x, ddx(sin x + xcos x) = cos x + (cos x - xsin x) = 2cos x - xsin x
Assim o limite fica
limxto0 -sin x2cos x - xsin x

Passo 5

Agora basta substituir x=0:
-sen(0)=0, 2cos(0)-0cdotsen(0)=2,
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limxto0^+l(1x-1sen xr) =02=0

Resposta

0

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