Resolva y^prime prime+4 y=8 x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' + 4y = 8x^2
Este é um caso de equação linear com coeficientes constantes. A estratégia é encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular do caso não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
r^2 + 4 = 0
que tem raízes
r = pm 2i
Assim a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 3

Procuramos uma solução particular por coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, fazemos o palpite
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
Então
yp''(x) = 2A,
e substituindo em
y'' + 4y = 8x^2
obtemos
2A + 4,(Ax^2 + Bx + C) = 8x^2
Reescrevendo,
4A,x^2 + 4B,x + (2A + 4C) = 8x^2
Igualando coeficientes dos mesmos graus de x, vem
4A = 8, 4B = 0, 2A + 4C = 0,
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A = 2, B = 0, C = -1
Portanto
yp(x) = 2x^2 - 1

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + 2x^2 - 1

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + 2x^2 - 1

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