Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente M_{0} gramas se decomponha segundo a equação matemática:
M(t)=M_{0} \cdot 10^{-\frac{t}{70}}
onde M(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação \log (2)=0,30, para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial passarão:
(a) 63 anos;
(b) 70 anos;
(c) 85 anos;

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo, cuja lei é dada por
M(t)=M_{0}\cdot 10^{-\frac{t}{70}},
onde M(t) é a massa restante no tempo t. Queremos o tempo t tal que M(t)=\tfrac{M_{0}}{8}. Para resolver, vamos usar logaritmo decimal e a aproximação \log(2)=0,30.

Passo 2

Igualamos a quantidade remanescente a um oitavo da inicial e dividimos ambos os lados por M_{0}:
10^{-\frac{t}{70}} = \frac{1}{8}.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo decimal nos dois lados:
-\frac{t}{70} = \log\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr) = -\log(8) = -\log\bigl(2^{3}\bigr) = -3\,\log(2).
Daí isolamos t:
\frac{t}{70}=3\,\log(2) \quad\Longrightarrow\quad t = 70 \cdot 3\,\log(2).

Passo 4

Substituindo \log(2)=0,30:
t = 70 \times 3 \times 0,30 = 70 \times 0,90 = 63.
Portanto, leva-se 63 anos para a massa cair a um oitavo do valor inicial.

Resposta

(a) 63 anos.

Exercícios relacionados