O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, colocando o valor da entrada a \mathrm{R} \ 10,00 , sempre contava com 1.000 pessoas a cada apresentação, faturandoçã\mathrm{R} $10.000,00 com a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir deé\mathrm{R} $ 10,00 , a cada\mathrm{R} $2,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos. Dessa forma, o valoráV cobrado na entrada é uma função afim do númeroéçãúP$ de pessoas.
Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por:
(a) Determine a lei de formação da função afim V=f(P) do enunciado;
(b) Se F é o faturamento com a venda dos ingressos, então, pelo enunciado, F é função de P. Que tipo de função é essa e qual a sua lei de formação?

Passo 1

O enunciado nos diz que, quando o ingresso custa \mathrm{R}\,\$10,00, o público é P=1000 e que, para cada aumento de \mathrm{R}\,\$2,00 no preço V, o público diminui em 40 pessoas. Assim, V é função afim de P e depois o faturamento F será P vezes V(P).

Passo 2

Identificamos as variações: a cada \Delta V = +2 temos \Delta P = -40. O coeficiente angular da reta V=f(P) é
m = \frac{\Delta V}{\Delta P} = \frac{2}{-40} = -\tfrac{1}{20}.

Passo 3

Para achar o coeficiente linear b, usamos o ponto dado (P,V) = (1000,10) na forma V = mP + b:
10 = -\tfrac{1}{20}\cdot 1000 + b \quad\Longrightarrow\quad 10 = -50 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 60.

Passo 4

Logo a lei de formação da função afim é
V(P) = -\tfrac{1}{20}\,P + 60.

Passo 5

O faturamento é F(P) = P \times V(P). Substituindo, temos
F(P) = P\bigl(-\tfrac{1}{20}P + 60\bigr) = -\tfrac{1}{20}P^2 + 60\,P.
Isso é uma função polinomial de segundo grau (função quadrática), pois aparece o termo P^2.

Resposta

(a) \displaystyle V(P) = -\tfrac{1}{20}\,P + 60.
(b) F é uma função polinomial de segundo grau, dada por \displaystyle F(P) = -\tfrac{1}{20}P^2 + 60\,P.

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