Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente no organismo de um paciente é calculada pela função:
Q(t)=30 \cdot 2^{1-\frac{t}{10}}
onde t é o tempo dado em horas.
Considerando \log (2)=0,3, o tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40 \% da quantidade inicial, é:
(a) 13 horas e 33 minutos;
(b) 13 horas e 20 minutos;
(c) 6 horas e 40 minutos;

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de droga em miligramas no organismo como
Q(t)=30\cdot 2^{1-\frac{t}{10}}
onde t está em horas. Precisamos achar t tal que Q(t) seja 40\% da quantidade inicial. Vamos usar propriedades de potências e logs para resolver isso.

Passo 2

Calcular a quantidade inicial Q(0):
Q(0)=30\cdot 2^{1-\frac{0}{10}}=30\cdot 2^1=60\;\text{mg}.
Então 40\% de Q(0) é 0{,}4\times 60=24 mg. Queremos Q(t)=24.

Passo 3

Escrevendo a equação
30\cdot 2^{1-\frac{t}{10}}=24
dividimos ambos os lados por 30:
2^{1-\frac{t}{10}}=\frac{24}{30}=0{,}8.

Passo 4

Aplicamos logaritmo decimal nos dois lados. Seja \log o logaritmo na base 10.
1-\frac{t}{10}=\frac{\log(0{,}8)}{\log(2)}.
Como \log(2)=0,3 e \log(0{,}8)=\log\bigl(\tfrac{8}{10}\bigr)=\log(2^3)-1=3\cdot0,3-1=0,9-1=-0,1, temos
1-\frac{t}{10}=\frac{-0,1}{0,3}=-\frac{1}{3}.

Passo 5

Resolvendo para t:
1-\frac{t}{10}=-\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{10}=-\frac{1}{3}-1=-\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{10}=\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{40}{3}\,\text{h}\approx13{,}333\ldots\text{h}.
Como 0{,}333\ldots hora é 0{,}333\ldots\times60=20 minutos, t=13 h 20 min.

Resposta

(b) 13 horas e 20 minutos.

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