Através de uma amostra aleatória simples de 145 profissionais de certa região, verificou-se que o salário médio é de 8 salários mínimos (s.m.) com um desvio padrão de 1,8 \mathrm{~s} . \mathrm{m}. A amostra também forneceu a informação de que 70 \% dos profissionais eram casados.
Determine o intervalo de 95 \% de confiança para o salário médio de todos os profissionais desta região.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa concreta:
  • Tamanho da amostra: n=145.
  • Salário médio amostral: \bar{x}=8 s.m.
  • Desvio padrão amostral: s=1,8 s.m.
  • Nível de confiança desejado: 95\% (ou seja, \alpha=0,05).
    Pergunta: determinar o intervalo de 95\% de confiança para o salário médio da população de todos os profissionais desta região.
    Observação: o enunciado também diz que 70\% eram casados; essa informação existe mas não é necessária para construir o intervalo de confiança da média (vou ignorá‑la na resolução).

Passo 2

Escolha do método e fórmula do intervalo de confiança.
  • Como o desvio padrão populacional \sigma não é conhecido, usamos a distribuição t de Student. Mesmo com n grande, o procedimento correto é usar t com \nu=n-1 graus de liberdade; para n=145 temos \nu=144.
  • A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média populacional \mu é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=8);
  • t_{1-\alpha/2,\nu} é o quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade correspondente a probabilidade acumulada 1-\alpha/2;
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=1,8);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=145);
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error).
  • Para \alpha=0,05 temos 1-\alpha/2=0,975. Pelo quadro de t (ou calculadora), o valor crítico para \nu=144 é aproximadamente
t_{0,975,144}\approx 1,976.
(Se alguém usar z_{0,975}=1,96 obterá valor muito parecido porque n é grande; pelo rigor usamos t.)

Passo 3

Cálculo do erro padrão da média (SE).
A fórmula é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
\sqrt{n}=\sqrt{145}\approx 12,0416,
logo
\mathrm{SE}\approx\frac{1,8}{12,0416}\approx 0,1495.
Explicação rápida: \sqrt{145} é a raiz quadrada de 145 e reduz o desvio padrão amostral para o erro da média — quanto maior n, menor o erro padrão.

Passo 4

Cálculo da margem de erro (ME).
A margem é
\mathrm{ME}=t_{0,975,144}\cdot\mathrm{SE}.
Substituindo t_{0,975,144}\approx 1,976 e \mathrm{SE}\approx 0,1495,
\mathrm{ME}\approx 1,976\cdot 0,1495 \approx 0,2955.
Interpretação: com 95\% de confiança, a média estimada pode variar cerca de 0,2955 s.m. para mais ou para menos devido à amostragem.

Passo 5

Cálculo dos extremos do intervalo de confiança.
Os extremos são
\bar{x}-\mathrm{ME}\quad\text{e}\quad \bar{x}+\mathrm{ME}.
Substituindo \bar{x}=8 e \mathrm{ME}\approx 0,2955,
8-0,2955 \approx 7,7045,
8+0,2955 \approx 8,2955.
Arredondando razoavelmente (por exemplo, três casas decimais) obtemos os limites aproximados 7,705 e 8,296 s.m.

Resposta

\displaystyle (7,705\\ \text{s.m.},\;8,296\\ \text{s.m.})

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