Através de uma amostra aleatória simples de 145 profissionais de certa região, verificou-se que o salário médio é de 8 salários mínimos (s.m.) com um desvio padrão de 1,8 \mathrm{~s} . \mathrm{m}. A amostra também forneceu a informação de que 70 \% dos profissionais eram casados.
Determine o intervalo de confiança de 99 \% para a proporção de profissionais casados desta região?

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança de 99\% para a proporção de profissionais casados na população, usando os dados da amostra. As informações relevantes fornecidas são:
n=145,\qquad \hat p=0,70\\ (\text{ou }70\%),\qquad \text{desvio padrão da amostra de salários não é necessário para esta parte.}ãáãéá

Passo 2

Vou usar o procedimento padrão para intervalo de confiança de proporção baseado na aproximação normal. A fórmula é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicando cada símbolo:
\hat p é a proporção amostral (aqui \hat p=0,70).
n é o tamanho da amostra (aqui n=145).
z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de área \alpha/2 (para 99\% de confiança, \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005).
A expressão \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão da proporção amostral. Antes de aplicar a normal, verificamos a condição de validade (aproximação razoável): n\hat p e n(1-\hat p) devem ser suficientes (tipicamente \ge 5 ou \ge 10).

Passo 3

Verificação das condições:
n\hat p = 145\cdot 0,70 = 101,5,\qquad n(1-\hat p)=145\cdot0,30=43,5.
Ambos são bem maiores que 10, logo a aproximação normal é apropriada.

Passo 4

Valor de z_{\alpha/2} para 99\% de confiança: \alpha/2=0,005, então
z_{0,005}\approx 2,5758.
(Esse valor vem da tabela da normal padrão ou da função inversa da normal; memorize z\approx2,5758 para 99\%.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da proporção:
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=\sqrt{\frac{0,70\cdot0,30}{145}}=\sqrt{\frac{0,21}{145}}=\sqrt{0,00144827586\ldots}\approx 0,03806.

Passo 6

Calcular a margem de erro:
E = z_{0,005}\cdot \mathrm{SE}\approx 2,5758\cdot 0,03806\approx 0,0980.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\hat p - E = 0,70 - 0,0980 = 0,6020,
\text{limite superior}=\hat p + E = 0,70 + 0,0980 = 0,7980.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar o intervalo como aproximadamente [0,602;\;0,798], isto é, cerca de 60,2\% a 79,8\%.

Passo 8

Interpretação final (curta e direta): com 99\% de confiança, a proporção verdadeira de profissionais casados na população está entre 60,2\% e 79,8\%. Força aí — é um intervalo relativamente largo porque a confiança pedida é alta ( 99\%).

Resposta

[0,602;\;0,798]
60,2\%\\ \text{a}\\\ 79,8\%

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