Selecionados, aleatoriamente, e pesquisados 500 universitários, verificou-se que 135 deles tinham computadores pessoais.
a) Determinar a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.
b) Determinar um intervalo de confiança de
para a verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.
a) Determinar a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.
b) Determinar um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado deu os seguintes dados e pediu duas coisas.
- Dados fornecidos: número de universitários pesquisados
e número dos que têm computador pessoal . - Perguntas:
- (a) Determinar a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.
- (b) Determinar um intervalo de confiança de
para essa verdadeira proporção.
Passo 2
Vamos começar pela estimativa pontual. A estimativa pontual para a proporção populacional é a proporção amostral
, definida por
onde
é o número de sucessos na amostra (aqui, universitários com computador) e
é o tamanho da amostra. Essa é a forma mais natural de estimar a proporção verdadeira
: ela mede a fração observada na amostra. Substituindo os valores:
Interpretação simples: a melhor estimativa pontual, com base nessa amostra, é que
dos universitários têm computador pessoal. Respira — essa parte é direta!
Passo 3
Agora vamos construir o intervalo de confiança de
. A fórmula usual (pela aproximação normal à distribuição binomial, válida para amostras grandes) é
onde:
-
é a proporção amostral (já calculada), -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a ; para intervalo de temos e , - a raiz quadrada
é o erro padrão da proporção amostral (medida da variabilidade da estimativa).
Antes de aplicar a fórmula, verificamos as condições de validade da aproximação normal: é comum checar se
e
são maiores que 5. Calculamos:
ambos bem maiores que
, então a aproximação normal é adequada.
Passo 4
Calcular o erro padrão. Primeiro calculemos
:
Dividindo por
:
Agora a raiz quadrada para obter o erro padrão (denotado
):
Uma observação prática:
, então fazer a raiz aproximada por
faz sentido porque dá um valor muito próximo a
.
Passo 5
Calcular a margem de erro com o quantil
:
Explicando a conta de forma simples:
é quase
, então
; subtraindo a pequena correção
obtemos
.
Passo 6
Montar o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro à estimativa pontual:
Arredondando de forma prática para três casas decimais, temos o intervalo
Passo 7
Interpretação final curta e motivadora: dizer que temos um intervalo de confiança de
significa que, se repetíssemos esse mesmo procedimento muitas vezes com amostras de tamanho
, aproximadamente
desses intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção
. Aqui, com esta amostra, temos boas evidências de que a verdadeira proporção está entre cerca de
e
. Vai dar certo na prova — lembre-se de checar as condições
e
e usar
para
.
Resposta
(a)
(b) Intervalo de confiança de
: