Selecionados, aleatoriamente, e pesquisados 500 universitários, verificou-se que 135 deles tinham computadores pessoais.
a) Determinar a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.
b) Determinar um intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.

Passo 1

O enunciado deu os seguintes dados e pediu duas coisas.
  • Dados fornecidos: número de universitários pesquisados n=500 e número dos que têm computador pessoal x=135.
  • Perguntas:
    1. (a) Determinar a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.
    2. (b) Determinar um intervalo de confiança de 95\% para essa verdadeira proporção.

Passo 2

Vamos começar pela estimativa pontual. A estimativa pontual para a proporção populacional é a proporção amostral \hat{p}, definida por
\hat{p}=\frac{x}{n},
onde x é o número de sucessos na amostra (aqui, universitários com computador) e n é o tamanho da amostra. Essa é a forma mais natural de estimar a proporção verdadeira p: ela mede a fração observada na amostra. Substituindo os valores:
\hat{p}=\frac{135}{500}=0,27.
Interpretação simples: a melhor estimativa pontual, com base nessa amostra, é que 27\% dos universitários têm computador pessoal. Respira — essa parte é direta!

Passo 3

Agora vamos construir o intervalo de confiança de 95\%. A fórmula usual (pela aproximação normal à distribuição binomial, válida para amostras grandes) é
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (já calculada),
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2; para intervalo de 95\% temos \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96,
  • a raiz quadrada \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção amostral (medida da variabilidade da estimativa).
Antes de aplicar a fórmula, verificamos as condições de validade da aproximação normal: é comum checar se n\hat{p} e n(1-\hat{p}) são maiores que 5. Calculamos:
n\hat{p}=500\cdot 0,27=135,\qquad n(1-\hat{p})=500\cdot 0,73=365,
ambos bem maiores que 5, então a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Calcular o erro padrão. Primeiro calculemos \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=0,27\cdot 0,73=0,1971.
Dividindo por n:
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0,1971}{500}=0,0003942.
Agora a raiz quadrada para obter o erro padrão (denotado SE):
SE=\sqrt{0,0003942}\approx 0,01985.
Uma observação prática: (0,02)^2=0,0004, então fazer a raiz aproximada por 0,01985 faz sentido porque dá um valor muito próximo a 0,0003942.

Passo 5

Calcular a margem de erro com o quantil z_{0,025}=1,96:
ME = z_{0,025}\cdot SE = 1,96\cdot 0,01985\approx 0,0389.
Explicando a conta de forma simples: 1,96 é quase 2, então 2\cdot 0,01985\approx 0,0397; subtraindo a pequena correção 0,04\cdot0,01985\approx0,00079 obtemos 0,0397-0,00079\approx0,0389.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro à estimativa pontual:
\text{limite inferior}=\hat{p}-ME=0,27-0,0389=0,2311,
\text{limite superior}=\hat{p}+ME=0,27+0,0389=0,3089.
Arredondando de forma prática para três casas decimais, temos o intervalo
(0,231,\;0,309).

Passo 7

Interpretação final curta e motivadora: dizer que temos um intervalo de confiança de 95\% significa que, se repetíssemos esse mesmo procedimento muitas vezes com amostras de tamanho 500, aproximadamente 95\% desses intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção p. Aqui, com esta amostra, temos boas evidências de que a verdadeira proporção está entre cerca de 23{,}1\% e 30{,}9\%. Vai dar certo na prova — lembre-se de checar as condições n\hat{p} e n(1-\hat{p}) e usar z=1{,}96 para 95\%.

Resposta

(a) \hat{p}=0,27
(b) Intervalo de confiança de 95\%: (0,231,\;0,309)

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