Através da análise dimensional, deduzir uma expressão que permite calcular a velocidade
  • V de um experimento. Sabe-se que o fenômeno ocorre em função da carga - q, da pressão - P, do campo magnético - B, da viscosidade cinemática - \mu e que o fator dimensional que figura na relação é igual a 2,4 .
Dados:
\mathrm{P}=9 \mathrm{~Pa} \quad \mathrm{q}=7,4 \mathrm{c} \quad \mathrm{B}=2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{c} . \mathrm{s} \quad \mathrm{u}=2,8 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
Pede-se:
a - Determine uma possível expressão para a equação da velocidade e com os dados calcule o seu valor em “m/s”:

Passo 1

O enunciado pede que, por análise dimensional, a velocidade \,V seja expressa em função de \,q (carga), \,P (pressão), \,B (campo magnético) e \,\mu (viscosidade cinemática), sabendo que há um fator numérico 2,4. Vamos assumir a forma geral
V = K \,q^{a}P^{b}B^{c}\mu^{d}
e determinar a,b,c,d de modo que as dimensões se igualem, depois inserir K=2{,}4.

Passo 2

Anotamos as dimensões fundamentais ( M=massa, L=comprimento, T=tempo, Q=carga elétrica): \,[V]=L\,T^{-1}, \,[q]=Q, \,[P]=M\,L^{-1}T^{-2}, \,[B]=M\,Q^{-1}T^{-1}, \,[\mu]=L^{2}T^{-1}.
Da forma proposta
[V]=Q^{a}\,(M\,L^{-1}T^{-2})^{b}\,(M\,Q^{-1}T^{-1})^{c}\,(L^{2}T^{-1})^{d},
igualamos expoentes de cada base:
M:  b+c=0
L:  -b+2d=1
T:  -2b -c -d=-1
Q:  a-c=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
  1. b+c=0
  2. -b+2d=1
  3. -2b-c-d=-1
  4. a-c=0
    vemos que c=-\tfrac13, b=\tfrac13, d=\tfrac23, a=c=-\tfrac13.

Passo 4

Substituindo em V=K\,q^{a}P^{b}B^{c}\mu^{d} e inserindo K=2{,}4, obtemos
V = 2{,}4\;q^{-\tfrac13}\,P^{\tfrac13}\,B^{-\tfrac13}\,\mu^{\tfrac23} =2{,}4\;\frac{P^{1/3}\,\mu^{2/3}}{q^{1/3}\,B^{1/3}}.

Passo 5

Agora calculamos numericamente com \,P=9 Pa, \,q=7{,}4 C, \,B=2{,}5 kg/( C\cdot s), \,\mu=2{,}8 m^{2}/s:
P^{1/3}=9^{1/3}\approx2{,}08, \quad \mu^{2/3}=(2{,}8)^{2/3}\approx1{,}99,
q^{1/3}=7{,}4^{1/3}\approx1{,}95, \quad B^{1/3}=2{,}5^{1/3}\approx1{,}36.
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V =2{,}4\;\frac{2{,}08\cdot1{,}99}{1{,}95\cdot1{,}36} \approx2{,}4\;\frac{4{,}14}{2{,}65} \approx3{,}75\;\text{m/s}.

Resposta

\displaystyle V \approx3{,}75\;\text{m/s}.

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