Metanol a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=788,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.v=7,429.10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right) escoa num tubo horizontal que apresenta diâmetro igual a 50 mm com uma vazão de 20L/s. O gradiente de pressão no escoamento é 2,00 \mathrm{kPa} / \mathrm{m}.
a) Determine a espessura aproximada da subcamada viscosa;
b) Determine a velocidade do escoamento na linha de centro do tubo;
c) Determine a velocidade do escoamento em um ponto a 20 mm da parede do tubo.

Passo 1

O enunciado trata de escoamento turbulento de metanol a 20^\circ\mathrm{C} em um tubo horizontal de diâmetro D=50\\ \mathrm{mm}, vazão volumétrica Q=20\\ \mathrm{L/s}, densidade \rho=788{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade cinemática \nu=7{,}429\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} e gradiente de pressão \dfrac{dp}{dx}=2{,}00\\ \mathrm{kPa/m}.
Conteúdo: tensão de cisalhamento na parede, velocidade de fricção, espessura da subcamada viscosa e perfil de velocidades (lei de potência 1/7) para achar a velocidade máxima e a velocidade a uma certa distância da parede.

Passo 2

Para achar a subcamada viscosa, precisamos de
\tau_w (tensão de cisalhamento na parede) e a velocidade de fricção
u_\tau = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}
Em escoamento interno totalmente desenvolvido vale
\frac{dp}{dx} = -\frac{4\,\tau_w}{D} \quad\Longrightarrow\quad \tau_w = -\frac{D}{4}\,\frac{dp}{dx}
Tomando o valor absoluto do gradiente:
\tau_w = \frac{0,05}{4}\times2000 = 25\\ \mathrm{Pa}
u_\tau = \sqrt{\frac{25}{788{,}4}} = 0{,}178\\ \mathrm{m/s}
A espessura aproximada da subcamada viscosa usa-se
\delta_v \approx 5\,\frac{\nu}{u_\tau}
\delta_v = 5\times\frac{7{,}429\times10^{-7}}{0{,}178} =2{,}09\times10^{-5}\\ \mathrm{m}

Passo 3

Para o perfil de velocidades turbulento tipo “1/7”, calculamos primeiro a velocidade média
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} =1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}
U_{\rm m} = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}02}{1{,}9635\times10^{-3}} =10{,}19\\ \mathrm{m/s}
Na lei de potência “1/7” a velocidade de centro do tubo é
U_{\max} = \frac{n+1}{n}\;U_{\rm m} \quad\text{com }n=7 \quad\Longrightarrow\quad U_{\max} = \frac{8}{7}\times10{,}19 =11{,}66\\ \mathrm{m/s}
(aproximação dependendo de (n+1)/n=8/7=1{,}143, dá U_{\max}\approx1{,}143\times10{,}19=11{,}65\\ \mathrm{m/s}).

Passo 4

Para o ponto a 20\\ \mathrm{mm} da parede, a distância ao eixo é
r = R - 0{,}02 = 0{,}025 - 0{,}02 = 0{,}005\\ \mathrm{m}, \quad \frac{r}{R} = \frac{0{,}005}{0{,}025}=0{,}20
Na lei de potência
\frac{u(r)}{U_{\max}} = \Bigl(1-\frac{r}{R}\Bigr)^{1/7} = (1-0{,}20)^{1/7} =0{,}80^{0{,}142857} =0{,}9686
u(20\,\mathrm{mm}) =0{,}9686\times11{,}66 =11{,}29\\ \mathrm{m/s}
(arredondando, cerca de 11{,}3\\ \mathrm{m/s}).

Resposta

a) \displaystyle \delta_v \approx 2{,}09\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
b) \displaystyle U_{\max}\approx11{,}7\\ \mathrm{m/s}
c) \displaystyle u(20\\ \mathrm{mm})\approx11{,}3\\ \mathrm{m/s}

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