• Exercício: Adicionar sal à água faz com que ela se contraia, aumentando a densidade. Seguindo um raciocínio análogo ao exposto acima, defina um coeficiente de contração halina \beta. Quais as unidades SI de к, \alpha e \beta ?
\begin{aligned} \delta \rho & =\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_{S T} \delta p+\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p S} \delta T+\left(\frac{\partial \rho}{\partial S}\right)_{p T} \delta S ; \\\ \frac{\delta \rho}{\rho} & =\left(\frac{\partial \ln \rho}{\partial p}\right)_{T S} \delta p+\left(\frac{\partial \ln \rho}{\partial T}\right)_{p S} \delta T+\left(\frac{\partial \ln \rho}{\partial S}\right)_{p T} \delta S ; \\\ \frac{\delta \rho}{\rho} & =\kappa \delta p-\alpha \delta T+\beta \delta S, \end{aligned}
onde \beta=\left(\frac{\partial \ln \rho}{\partial S}\right)_{p T} tem o mesmo sinal da pressão pois se S aumenta \rho aumenta. Note que \frac{\delta \rho}{\rho} é adimensional, portanto as unidades de \kappa, \alpha e \beta são, respectivamente, \mathrm{Pa}^{-1}, \mathrm{~K}^{-1} e adimensional.

Passo 1

O enunciado trata da expansão ou contração da água ao variar pressão, temperatura e salinidade. Usamos a relação
\frac{\delta\rho}{\rho} =\kappa\,\delta p -\alpha\,\delta T +\beta\,\delta S
onde
\kappa é o coeficiente de compres­sibilidade,
\alpha é o coeficiente de expansão térmica,
\beta é o coeficiente de contração halina.
O objetivo é definir \beta e descobrir as unidades SI de \kappa, \alpha e \beta.

Passo 2

Definimos o coeficiente de contração halina pela derivada logarítmica
\beta =\Bigl(\frac{\partial\ln\rho}{\partial S}\Bigr)_{pT}
de modo que, ao aumentar a salinidade S, a densidade \rho cresce e \beta>0.

Passo 3

Note que o termo \delta\rho/\rho é adimensional. Como na soma cada termo
\kappa\delta p, \alpha\delta T e \beta\delta S também deve ser adimensional, basta igualar as unidades:
  • \delta p tem unidade de Pascal ( \mathrm{Pa}), logo \kappa deve ter unidade \mathrm{Pa}^{-1}.
  • \delta T tem unidade de kelvin ( \mathrm{K}), logo \alpha deve ter unidade \mathrm{K}^{-1}.
  • \delta S costuma ser tratado adimensional (por exemplo em g kg ^{-1} ou PSU), portanto \beta é adimensional.

Resposta

\kappa: \mathrm{Pa}^{-1}
\alpha: \mathrm{K}^{-1}
\beta: adimensional

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