Estudando um fenômeno físico, um pesquisador conclui que a aceleração de um objeto em estudo depende de certa força (F), de certa massa (m) e de certo comprimento (1).
Através da análise dimensional das grandezas citadas, determine uma possível expressão para a equação da aceleração, sendo que o fator dimensional que figura na relação é igual a 1,1.

Dados:

F=87,3 \mathrm{~N}
\mathbf{m} \boldsymbol{=} \mathbf{2 , 6 ~ k g}
\mathbf{L}=\mathbf{0 , 3} \mathbf{~ m}
Determine uma possível expressão para a equação da aceleração e com os dados, calcule o seu valor, em " \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2 "} :

Passo 1

O enunciado diz que a aceleração a depende de uma força F, de uma massa m e de um comprimento L, e que essa dependência pode ser escrita como
a = k\,F^{\alpha}\,m^{\beta}\,L^{\gamma},
sendo k=1{,}1 (fator adimensional). Usaremos análise dimensional para encontrar \alpha, \beta e \gamma, depois substituímos F=87{,}3\\ \mathrm{N}, m=2{,}6\\ \mathrm{kg} e L=0{,}3\\ \mathrm{m} para achar o valor numérico de a.

Passo 2

Listamos as dimensões fundamentais:
[F] = M\,L\,T^{-2}, \quad [m] = M, \quad [L] = L, \quad [a] = L\,T^{-2}.
Substituindo em
[a] = [F]^{\alpha}\,[m]^{\beta}\,[L]^{\gamma}
temos
L\,T^{-2} \;=\; (M\,L\,T^{-2})^{\alpha}\;M^{\beta}\;L^{\gamma} \;=\; M^{\alpha+\beta}\,L^{\alpha+\gamma}\,T^{-2\alpha}.

Passo 3

Igualamos os expoentes para cada dimensão:
  1. De M:
\alpha + \beta = 0.
  1. De L:
\alpha + \gamma = 1.
  1. De T:
-2\alpha = -2 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1.
Substituindo \alpha=1 em \alpha+\beta=0 e \alpha+\gamma=1
\beta = -1, \quad \gamma = 0.

Passo 4

Com \alpha=1, \beta=-1, \gamma=0 e k=1{,}1, a expressão para a aceleração fica
a = 1{,}1\;F^{1}\;m^{-1}\;L^{0} \quad\Longrightarrow\quad a = 1{,}1\,\frac{F}{m}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
a = 1{,}1 \times \frac{87{,}3}{2{,}6} \approx 1{,}1 \times 33{,}5769 \approx 36{,}93\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

A expressão dimensionalmente consistente é
a = 1{,}1\,\frac{F}{m},
e o valor numérico, com os dados fornecidos, é
a \approx 36{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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