Através da derivada, encontre os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante de
g(x)=x^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de crescimento, decrescimento e constância de g(x)=x^3 usando derivada. O conteúdo aqui é monotonicidade de funções, e vamos precisar lembrar que, se g'(x)>0 então g é crescente, se g'(x)<0 é decrescente e se g'(x)=0 em um intervalo não trivial pode ser constante.

Passo 2

Calculemos a derivada de g aplicando a regra do poder ( ddxx^n = n,x^n-1):
g'(x) = 3,x^2

Passo 3

Analise o sinal de g'(x)=3x^2:
  • Para todo xneq 0 temos x^2>0, logo g'(x)=3x^2>0.
  • Em x=0 temos g'(0)=0.
Como g'(x)>0 para x<0 e para x>0, a função é estritamente crescente em (-infty,0) e em (0,infty). Não há intervalo em que g'(x)<0, então não existe decrescimento. E o único ponto em que g'(x)=0 é x=0, um ponto isolado, portanto não há intervalo de constância de extensão positiva.

Resposta

A função g(x)=x^3 é
crescente em (-infty,0)cup(0,infty);
não há intervalo de decrescimento;
não há intervalo de constância.

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