Encontre os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a achar esses pontos de interesse na função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto
.
A função é:
A derivada da função,
, é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver:
Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Esses são os valores de
onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Passo 4
Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada, que nos indica a concavidade da função.
Vamos encontrar a segunda derivada
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um ponto de máximo.
- Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um ponto de mínimo.
- Para
:
Assim como para
,
, então também temos um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
são:
- Máximo local em
- Mínimos locais em
e