Encontre os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções se existirem.
y=0,75 x^4-1,5 x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função y = 0,75x^4 - 1,5x^2 - 2 . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a achar esses pontos de interesse na função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a x . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto x .
A função é:
y = 0,75x^4 - 1,5x^2 - 2
A derivada da função, y' , é:
y' = ddx(0,75x^4) - ddx(1,5x^2) - ddx(2)
y' = 3x^3 - 3x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver:
3x^3 - 3x = 0
Vamos fatorar:
3x(x^2 - 1) = 0
3x(x - 1)(x + 1) = 0
Então, as soluções são:
x = 0
x = 1
x = -1
Esses são os valores de x onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.

Passo 4

Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada, que nos indica a concavidade da função.
Vamos encontrar a segunda derivada y'' :
y' = 3x^3 - 3x
y'' = ddx(3x^3) - ddx(3x)
y'' = 9x^2 - 3
Agora, avaliamos y'' nos pontos críticos:
  1. Para x = 0 :
y'' = 9(0)^2 - 3 = -3
Como y'' < 0 , a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um ponto de máximo.
  1. Para x = 1 :
y'' = 9(1)^2 - 3 = 6
Como y'' > 0 , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um ponto de mínimo.
  1. Para x = -1 :
y'' = 9(-1)^2 - 3 = 6
Assim como para x = 1 , y'' > 0 , então também temos um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função y = 0,75x^4 - 1,5x^2 - 2 são:
  • Máximo local em x = 0
  • Mínimos locais em x = 1 e x = -1

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