Para se produzir a mercadoria chamada de Estrela Gato Branco deve-se utilizar
máquinas-hora e
homens-hora com custo de produção dado por
. Quantos homens-hora serão necessários para se obter um custo mínimo?
Passo 1
O enunciado dá o custo de produzir a mercadoria em função de máquinas-hora
e homens-hora
:
C(x,y)=2x3−6xy+y2+500
Queremos achar os valores de e
que minimizam esse custo. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana).
C(x,y)=2x3−6xy+y2+500
Queremos achar os valores de
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Essas derivadas medem a taxa de variação de
em relação a
e
separadamente.
Passo 3
Em seguida, achamos os pontos críticos impondo
Da primeira tiramos
. Da segunda,
. Então
Substituindo, obtemos os candidatos:
Passo 4
Agora fazemos o teste da Hessiana para ver qual é mínimo. As segundas derivadas são:
O determinante da Hessiana é
Em
temos
E
, então
é ponto de mínimo local.
Passo 5
Como o único ponto de mínimo relevante tem
, concluímos que são necessárias 9 homens-hora para obter o custo mínimo.
Resposta
9 homens-hora