Para se produzir a mercadoria chamada de Estrela Gato Branco deve-se utilizar x máquinas-hora e y homens-hora com custo de produção dado por C(x, y)=2 x^3-6 x y+y^2+500. Quantos homens-hora serão necessários para se obter um custo mínimo?

Passo 1

O enunciado dá o custo de produzir a mercadoria em função de máquinas-hora x e homens-hora y:
C(x,y)=2x3−6xy+y2+500
Queremos achar os valores de x e y que minimizam esse custo. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de C(x,y):
partial Cpartial x=6x^2-6y
partial Cpartial y=-6x+2y
Essas derivadas medem a taxa de variação de C em relação a x e y separadamente.

Passo 3

Em seguida, achamos os pontos críticos impondo
6x^2-6y=0
-6x+2y=0
Da primeira tiramos y=x^2. Da segunda, y=3x. Então
x^2=3ximplies x(x-3)=0implies x=0 ou x=3
Substituindo, obtemos os candidatos:
(x,y)=(0,0)e(x,y)=(3,9)

Passo 4

Agora fazemos o teste da Hessiana para ver qual é mínimo. As segundas derivadas são:
Cxx=12x, Cyy=2, Cxy=Cyx=-6
O determinante da Hessiana é
D=CxxCyy-(Cxy)^2
Em (3,9) temos
Cxx(3,9)=36, Cyy=2, Cxy=-6
D=36cdot2-(-6)^2=72-36=36>0
E Cxx(3,9)=36>0, então (3,9) é ponto de mínimo local.

Passo 5

Como o único ponto de mínimo relevante tem y=9, concluímos que são necessárias 9 homens-hora para obter o custo mínimo.

Resposta

9 homens-hora

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