Nos itens abaixo, determine:
  1. os números críticos;
  2. os intervalos nos quais fé crescente;
  3. os intervalos nos quais fé decrescente;
  4. os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
  5. os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
  6. as coordenadas x de todos os pontos de inflexão
  7. achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
    f(x)=-2 x^2+4 x+3

Passo 1

O enunciado fornece a função f dada por
f(x) = -2x^2 + 4x + 3,
uma parábola voltada para baixo. Vamos aplicar conceitos de derivadas: a primeira derivada para encontrar números críticos e monotonicidade, e a segunda derivada para concavidade, pontos de inflexão e identificação de extremos.

Passo 2

Calcular a primeira derivada ,f'(x), e a segunda derivada ,f''(x),. Pela regra de derivação de potências e somas,
f'(x) = ddx(-2x^2) + ddx(4x) + ddx(3) = -4x + 4,
f''(x) = ddx(-4x + 4) = -4

Passo 3

Encontrar os números críticos resolvendo f'(x)=0:
-4x + 4 = 0 implies x = 1
Logo, o único número crítico é x=1.

Passo 4

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento pelo sinal de f'(x). Temos f'(x) = -4(x-1):
Se x<1, então x-1<0 e f'(x)>0: f cresce em (-infty,1).
Se x>1, então x-1>0 e f'(x)<0: f decresce em (1,infty).

Passo 5

Analisar concavidade usando f''(x)=-4:
Como f''(x)<0 para todo x, f é côncava para baixo em (-infty,infty).
Não há intervalo em que f''(x)>0, logo não há concavidade para cima.

Passo 6

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 ou é indefinida e há troca de concavidade. Aqui f''(x) é constante -4 e nunca muda de sinal, então não há pontos de inflexão.

Passo 7

Classificar o extremo em x=1 com base no teste da primeira derivada: f' passa de positivo para negativo, indicando um máximo relativo. O valor é
f(1) = -2(1)^2 + 4cdot1 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5
Não há mínimos relativos.

Resposta

  1. Número crítico: x=1.
  2. Crescente em (-infty,1).
  3. Decrescente em (1,infty).
  4. Côncava para cima: nenhum intervalo.
  5. Côncava para baixo: (-infty,infty).
  6. Pontos de inflexão: nenhum.
  7. Extremo relativo: máximo em (1,5); não há mínimos.

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