Nos itens abaixo, determine:
- os números críticos;
- os intervalos nos quais fé crescente;
- os intervalos nos quais fé decrescente;
- os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
- os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
- as coordenadas
de todos os pontos de inflexão
- achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
uma parábola voltada para baixo. Vamos aplicar conceitos de derivadas: a primeira derivada para encontrar números críticos e monotonicidade, e a segunda derivada para concavidade, pontos de inflexão e identificação de extremos.
Passo 2
Calcular a primeira derivada
e a segunda derivada
. Pela regra de derivação de potências e somas,
Passo 3
Encontrar os números críticos resolvendo
:
Logo, o único número crítico é
.
Passo 4
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento pelo sinal de
. Temos
:
Se , então
e
:
cresce em
.
Se , então
e
:
decresce em
.
Se
Se
Passo 5
Analisar concavidade usando
:
Como para todo
,
é côncava para baixo em
.
Não há intervalo em que , logo não há concavidade para cima.
Como
Não há intervalo em que
Passo 6
Pontos de inflexão ocorrem onde
ou é indefinida e há troca de concavidade. Aqui
é constante
e nunca muda de sinal, então não há pontos de inflexão.
Passo 7
Classificar o extremo em
com base no teste da primeira derivada:
passa de positivo para negativo, indicando um máximo relativo. O valor é
Não há mínimos relativos.
Resposta
- Número crítico:
. - Crescente em
. - Decrescente em
. - Côncava para cima: nenhum intervalo.
- Côncava para baixo:
. - Pontos de inflexão: nenhum.
- Extremo relativo: máximo em
; não há mínimos.