Encontre os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções se existirem.
y=x^3-7,5 x^2+18 x-10

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função
y = x^3 - 7,5,x^2 + 18,x - 10
O conteúdo da matéria é cálculo diferencial: vamos precisar de derivadas primeira e segunda e do teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos:
y' = ddxl(x^3 - 7,5,x^2 + 18,x - 10r) = 3,x^2 - 15,x + 18
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
3,x^2 - 15,x + 18 = 0 Longrightarrow x^2 - 5,x + 6 = 0 Longrightarrow (x-2)(x-3)=0,
logo os pontos críticos são x=2 e x=3.

Passo 3

Aplicamos o teste da segunda derivada para classificar cada ponto:
y'' = ddxl(3,x^2 - 15,x + 18r) = 6,x - 15
Em x=2:
y''(2) = 6cdot2 - 15 = -3 < 0,
portanto x=2 é ponto de máximo local.
Em x=3:
y''(3) = 6cdot3 - 15 = 3 > 0,
portanto x=3 é ponto de mínimo local.

Passo 4

Só falta calcular y nesses pontos:
Em x=2:
y(2) = 2^3 - 7,5cdot2^2 + 18cdot2 - 10 = 8 - 7,5cdot4 + 36 - 10 = 8 - 30 + 36 - 10 = 4
Em x=3:
y(3) = 3^3 - 7,5cdot3^2 + 18cdot3 - 10 = 27 - 7,5cdot9 + 54 - 10 = 27 - 67,5 + 54 - 10 = 3,5

Resposta

Máximo local em (2,4).
Mínimo local em l(3,,3,5r).

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