Através da derivada, encontre os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante de
l(x)=(2 x+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para usar a derivada de l(x)=(2x+1)^3 para determinar em que intervalos a função é crescente, decrescente ou constante. Vamos aplicar o teste da primeira derivada: calcular l'(x), encontrar onde ela é zero ou indefinida, analisar o sinal de l'(x) em cada intervalo e daí concluir o comportamento de l.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra da cadeia. Para
l(x)=(2x+1)^3,
temos
l'(x)=3,(2x+1)^2cdotddx(2x+1) =3,(2x+1)^2cdot 2 =6,(2x+1)^2

Passo 3

Identificamos onde l'(x)=0:
6,(2x+1)^2=0 Longrightarrow (2x+1)^2=0 Longrightarrow 2x+1=0 Longrightarrow x=-tfrac12
Não há pontos de descontinuidade em l'(x), pois a expressão é polinomial.

Passo 4

Analisamos o sinal de l'(x)=6,(2x+1)^2. Como o quadrado (2x+1)^2 é sempre não-negativo e o coeficiente 6>0, segue que
l'(x)>0para todo xneq -tfrac12,
e
l'(x)=0em x=-tfrac12
Logo, a função nunca tem derivada negativa (não decresce em parte alguma) e só “estaciona” no ponto x=-tfrac12.

Resposta

A função l(x)=(2x+1)^3 é
crescente em l(-infty,-tfrac12r)cupl(-tfrac12,inftyr),
não é decrescente em nenhum intervalo,
e só é constante instantaneamente no ponto x=-tfrac12.

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