Encontre os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções se existirem.
y=-x^4+8 x^2+9

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício de encontrar os pontos de máximo e mínimo da função y = -x^4 + 8x^2 + 9 . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a análise de derivadas para identificar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função y em relação a x . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está aumentando ou diminuindo naquele ponto. A derivada de y é:
y' = dydx = -4x^3 + 16x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Como nossa derivada está definida para todos os x , vamos resolver:
-4x^3 + 16x = 0
Podemos fatorar:
-4x(x^2 - 4) = 0
Isso resulta em:
x = 0 ou x^2 - 4 = 0 Rightarrow x = pm 2
Então, os pontos críticos são x = -2 , x = 0 e x = 2 .

Passo 4

Para saber se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” (mínimo) ou “curvada para baixo” (máximo) naquele ponto.
Calculando a segunda derivada:
y'' = d^2ydx^2 = -12x^2 + 16
Agora, avaliamos y'' em cada ponto crítico:
  • Para x = -2 :
y''(-2) = -12(-2)^2 + 16 = -12(4) + 16 = -48 + 16 = -32 (negativo)
Como é negativo, x = -2 é um ponto de máximo.
  • Para x = 0 :
y''(0) = -12(0)^2 + 16 = 0 + 16 = 16 (positivo)
Como é positivo, x = 0 é um ponto de mínimo.
  • Para x = 2 :
y''(2) = -12(2)^2 + 16 = -12(4) + 16 = -48 + 16 = -32 (negativo)
Como é negativo, x = 2 é um ponto de máximo.

Resposta

Os pontos de máximo da função são (-2, 25) e (2, 25) , e o ponto de mínimo é (0, 9) .

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