Encontre os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções se existirem.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício de encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a análise de derivadas para identificar esses pontos especiais na função.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está aumentando ou diminuindo naquele ponto. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Como nossa derivada está definida para todos os
, vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso resulta em:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Para saber se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” (mínimo) ou “curvada para baixo” (máximo) naquele ponto.
Calculando a segunda derivada:
Agora, avaliamos
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como é negativo,
é um ponto de máximo.
- Para
:
Como é positivo,
é um ponto de mínimo.
- Para
:
Como é negativo,
é um ponto de máximo.
Resposta
Os pontos de máximo da função são
e
, e o ponto de mínimo é
.