Através da eliminação do parâmetro
, encontrar as equações na forma cartesiana:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eliminação de parâmetro. A gente tem uma curva definida parametricamente por
, onde
é o parâmetro. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar a equação dessa curva na forma cartesiana, ou seja, relacionando diretamente
e
sem o
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas equações paramétricas que temos:
Queremos expressar
em termos de
ou vice-versa, sem o
.
Passo 3
Vamos começar isolando o parâmetro
na primeira equação. Temos:
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Então, isolando
:
Passo 4
Agora que encontramos
em termos de
, vamos substituir essa expressão na segunda equação, que é para
:
Substituindo
por
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para
:
Primeiro, calculemos
:
E
simplifica para:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Podemos fatorar
para simplificar ainda mais a equação:
Mas para deixar a equação na forma mais simples possível, podemos deixar como está:
Resposta
A equação cartesiana da curva é: