Através da eliminação do parâmetro t, encontrar as equações na forma cartesiana: gamma(t)=(e^2 t, t^3+2 t)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eliminação de parâmetro. A gente tem uma curva definida parametricamente por gamma(t) = (e^2 t, t^3 + 2 t), onde t é o parâmetro. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t e encontrar a equação dessa curva na forma cartesiana, ou seja, relacionando diretamente x e y sem o t.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas equações paramétricas que temos:
x = e^2t
y = t^3 + 2t
Queremos expressar y em termos de x ou vice-versa, sem o t.

Passo 3

Vamos começar isolando o parâmetro t na primeira equação. Temos:
x = e^2t
Para resolver para t, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
ln(x) = ln(e^2t) = 2t
Então, isolando t:
t = ln(x)2

Passo 4

Agora que encontramos t em termos de x, vamos substituir essa expressão na segunda equação, que é para y:
y = t^3 + 2t
Substituindo t por ln(x)2:
y = (ln(x)2)^3 + 2 (ln(x)2)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para y:
Primeiro, calculemos (ln(x)2)^3:
(ln(x)2)^3 = (ln(x))^38
E 2 (ln(x)2) simplifica para:
2 cdot ln(x)2 = ln(x)
Então, juntando tudo:
y = (ln(x))^38 + ln(x)

Passo 6

Podemos fatorar ln(x) para simplificar ainda mais a equação:
y = ln(x) (1 + (ln(x))^28)
Mas para deixar a equação na forma mais simples possível, podemos deixar como está:
y = (ln(x))^38 + ln(x)

Resposta

A equação cartesiana da curva é:
y = (ln(x))^38 + ln(x)

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