Através da eliminação do parâmetro, esboce a curva alpha(t)=(x(t), y(t)), sendo x(t)=3 cos (2 t) e y(t)=1+2 cos ^2(2 t), com 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por duas funções paramétricas: x(t) = 3 cos(2t) e y(t) = 1 + 2 cos^2(2t) , onde t varia de 0 a pi . O desafio é eliminar o parâmetro t dessas equações para esboçar a curva resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa eliminar o parâmetro. Basicamente, queremos relacionar x e y diretamente, sem depender de t . Para isso, precisamos expressar cos(2t) ou sin(2t) em termos de x ou y .

Passo 3

Olha só, da primeira equação temos x = 3 cos(2t) . Podemos resolver isso para cos(2t) :
cos(2t) = x3
Agora, vamos usar essa expressão na segunda equação para substituir cos(2t) .

Passo 4

Substituindo cos(2t) em y(t) :
y = 1 + 2 cos^2(2t) = 1 + 2 ( x3 )^2
Vamos simplificar isso para deixar a relação entre x e y mais clara.

Passo 5

Simplificando a expressão:
y = 1 + 2 ( x^29 ) = 1 + 2x^29
Então, a equação que relaciona x e y sem o parâmetro t é:
y = 1 + 2x^29

Passo 6

Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, com o vértice em (0,1) . Para esboçar a curva, podemos calcular alguns pontos substituindo valores de x na equação.

Resposta

A curva, após eliminar o parâmetro, é a parábola y = 1 + 29x^2 . Ela tem vértice em (0,1) e abre para cima.

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