Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Calcule a área da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que fica entre as curvas
e
. Depois, vamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou a
para achar a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber onde essas curvas se encontram e entender um pouquinho de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para resolver para
:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora sabemos que as curvas se cruzam nos pontos
e
. Vamos decidir integrar em relação a
porque as equações estão dadas como
em função de
, o que facilita o cálculo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula da integral:
Aqui,
é a curva que está acima na região de integração, e
é a que está abaixo.
Passo 6
Vamos identificar qual curva está acima entre
e
. Vamos escolher um ponto no meio, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima da
nesse intervalo.
Passo 7
Então, a área fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliaremos essa antiderivada de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.