Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Calcule a área da região
y=(x-3)^2, y=4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que fica entre as curvas y = (x-3)^2 e y = 4x . Depois, vamos decidir se é melhor integrar em relação a x ou a y para achar a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber onde essas curvas se encontram e entender um pouquinho de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
(x - 3)^2 = 4x
Expandindo o lado esquerdo:
x^2 - 6x + 9 = 4x

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para resolver para x :
x^2 - 10x + 9 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = 10 pm raiz100 - 362 = 10 pm raiz642 = 10 pm 82
Então, as soluções são:
x = 10 + 82 = 9 e x = 10 - 82 = 1

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se cruzam nos pontos x = 1 e x = 9 . Vamos decidir integrar em relação a x porque as equações estão dadas como y em função de x , o que facilita o cálculo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula da integral:
Área = integrala^b [ysuperior - yinferior] , dx Á
Aqui, ysuperior é a curva que está acima na região de integração, e yinferior é a que está abaixo.

Passo 6

Vamos identificar qual curva está acima entre x = 1 e x = 9 . Vamos escolher um ponto no meio, por exemplo, x = 5 :
y = 4(5) = 20
y = (5 - 3)^2 = 4
Como 20 > 4 , a curva y = 4x está acima da y = (x-3)^2 nesse intervalo.

Passo 7

Então, a área fica:
Área = integral1^9 [4x - (x - 3)^2] , dx Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4x - (x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 10x - 9

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + 10x - 9) , dx = -x^33 + 5x^2 - 9x + C
Avaliaremos essa antiderivada de 1 a 9 :
Para x = 9 :
-9^33 + 5 times 9^2 - 9 times 9 = -243 + 405 - 81 = 81
Para x = 1 :
-1^33 + 5 times 1^2 - 9 times 1 = -13 + 5 - 9 = -133

Passo 9

Subtraindo os valores:
81 - (-133) = 81 + 133 = 243 + 133 = 2563

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y = (x-3)^2 e y = 4x é 2563 unidades quadradas.

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