Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Calcule a área da região
y=x^2, y=3 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 3x - x^2 . Depois, vamos decidir se é melhor integrar em relação a x ou y para calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para descobrir isso, igualamos as duas equações:
x^2 = 3x - x^2

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de x :
x^2 + x^2 - 3x = 0 2x^2 - 3x = 0 x(2x - 3) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 0 e 2x - 3 = 0 Rightarrow x = 32
Então, as curvas se interceptam nos pontos x = 0 e x = 32 .

Passo 4

Vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região:
  • A curva y = x^2 é uma parábola voltada para cima.
  • A curva y = 3x - x^2 também é uma parábola, mas invertida, formando um arco que cruza a primeira parábola.
Ao esboçar, vemos que entre x = 0 e x = 32 , a curva y = 3x - x^2 está acima da y = x^2 .

Passo 5

Como a área está entre x = 0 e x = 32 , e a função de cima é y = 3x - x^2 e a de baixo é y = x^2 , vamos integrar em relação a x . A fórmula para a área A é:
A = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx
Onde:
  • f(x) = 3x - x^2 (função de cima)
  • g(x) = x^2 (função de baixo)
  • a = 0
  • b = 32

Passo 6

Vamos calcular a integral:
A = integral0^32 ( (3x - x^2) - x^2 ) dx A = integral0^32 (3x - 2x^2) , dx
Integrando termo a termo:
A = [ 32x^2 - 23x^3 ]0^32 A = ( 32 (32)^2 - 23 (32)^3 ) - (0 - 0)
Calculando cada parte:
32 (94) = 278 23 (278) = 5424 = 94
Subtraindo:
A = 278 - 94 = 278 - 188 = 98

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 3x - x^2 é 98 unidades quadradas.

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