Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Calcule a área da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas
e
. Depois, vamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou
para calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para descobrir isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região:
- A curva
é uma parábola voltada para cima. - A curva
também é uma parábola, mas invertida, formando um arco que cruza a primeira parábola.
Ao esboçar, vemos que entre
e
, a curva
está acima da
.
Passo 5
Como a área está entre
e
, e a função de cima é
e a de baixo é
, vamos integrar em relação a
. A fórmula para a área
é:
Onde:
-
(função de cima) -
(função de baixo) -
-
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.