Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função vetorial no ponto . A função dada é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função vetorial. A função tem duas componentes: a primeira é e a segunda é . A derivada da função vetorial, , vai ser outra função vetorial onde cada componente é a derivada das componentes originais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das componentes individualmente:
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir na derivada que achamos:
Passo 5
Vamos calcular cada componente:
, então
Multiplicando por 2:
Portanto:
Passo 6
Se a questão pede um valor final, podemos interpretar que ela quer o vetor derivada. Mas, como a resposta esperada é um escalar, talvez esteja pedindo a magnitude do vetor derivada.
Vamos calcular a magnitude:
No entanto, como a resposta esperada é 2 raiz33, parece que houve uma interpretação diferente. Talvez a questão esteja pedindo especificamente a segunda componente da derivada, que calculamos como 1. Então, pode haver um equívoco na resposta fornecida.