a) Através de que expressão se poderia provar que o tempo necessário para a descarga completa é mesmo infinito?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolvê-la. A questão nos pergunta qual expressão podemos usar para provar que o tempo necessário para uma descarga completa é, na verdade, infinito. Isso faz parte do estudo de circuitos elétricos, especificamente no contexto de descargas em circuitos RC (resistor-capacitor). Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de descarga de um capacitor em um circuito RC e entender como ela se comporta com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a descarga de um capacitor em um circuito RC. Quando um capacitor está descarregando através de um resistor, a tensão no capacitor no tempo $ t $ é dada por:
Aqui, $ V_0 $ é a tensão inicial no capacitor, $ R $ é a resistência do resistor, e $ C $ é a capacitância do capacitor.
Passo 3
Agora, queremos provar que o tempo necessário para a descarga completa é infinito. Isto significa que, para que a tensão no capacitor chegue exatamente a zero, precisaríamos de um tempo que tende ao infinito. Para ver isso, vamos analisar o comportamento da função $ V(t) $ quando $ t $ tende ao infinito.
Passo 4
Vamos calcular o limite de $ V(t) $ quando $ t $ tende ao infinito:
À medida que $ t $ aumenta, o expoente $ -\frac{t}{RC} $ se torna cada vez mais negativo, fazendo com que $ e^{-\frac{t}{RC}} $ se aproxime de zero.
Passo 5
Matematicamente, sabemos que:
Portanto:
Isso mostra que a tensão no capacitor nunca atinge exatamente zero em um tempo finito, mas se aproxima cada vez mais de zero à medida que o tempo aumenta.
Resposta
Através da expressão $ V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}} $ podemos provar que o tempo necessário para a descarga completa é infinito.