A única força atuando sobre um corpo de
, enquanto este se movimenta no eixo
positivo, é
, com
dado em metros. A velocidade em
é
. (b) Para qual valor positivo de
o corpo terá velocidade igual a
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo de 2,0 kg que está se movendo na direção positiva do eixo x. A única força que atua sobre ele é $ F_x = 6x $ N, onde $ x $ está em metros. Sabemos que, quando $ x = 3,0 $ m, a velocidade é de 8,0 m/s. Nossa missão aqui é descobrir para qual valor positivo de $ x $ a velocidade do corpo será igual a 5,0 m/s. Vamos usar conceitos de dinâmica e energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a força que depende da posição ($ F_x = 6x $) indica que estamos lidando com uma força variável. Para relacionar essa força com a velocidade, podemos usar o Teorema do Trabalho e Energia, que nos diz que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia cinética do corpo.
Passo 3
Vamos calcular o trabalho realizado pela força $ F_x $ quando o corpo se move de uma posição $ x_1 $ para $ x_2
W $) é dado pela integral da força em relação à posição:
Passo 4
Fazendo a integração, temos:
Passo 5
Segundo o Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética ($ \Delta K $):
Onde:
- $ m = 2,0 $ kg
- $ v_1 = 8,0 $ m/s (quando $ x_1 = 3,0 $ m)
- $ v_2 = 5,0 $ m/s (quando $ x_2 $ é desconhecido)
Passo 6
Substituindo os valores na equação do trabalho:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ x_2 $:
Resposta
Não existe um valor positivo de $ x $ que satisfaça a condição de velocidade igual a 5,0 m/s para este sistema, já que obtivemos $ x_2^2 = -4 $, o que não é possível no contexto físico.