A única força atuando sobre um corpo de 2,0 kg, enquanto este se movimenta no eixo x positivo, é Fx=6 x N, com x dado em metros. A velocidade em x=3,0 m é 8,0 m / s. (b) Para qual valor positivo de x o corpo terá velocidade igual a 5,0 m / s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo de 2,0 kg que está se movendo na direção positiva do eixo x. A única força que atua sobre ele é $ F_x = 6x $ N, onde $ x $ está em metros. Sabemos que, quando $ x = 3,0 $ m, a velocidade é de 8,0 m/s. Nossa missão aqui é descobrir para qual valor positivo de $ x $ a velocidade do corpo será igual a 5,0 m/s. Vamos usar conceitos de dinâmica e energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força que depende da posição ($ F_x = 6x $) indica que estamos lidando com uma força variável. Para relacionar essa força com a velocidade, podemos usar o Teorema do Trabalho e Energia, que nos diz que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia cinética do corpo.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho realizado pela força $ F_x $ quando o corpo se move de uma posição $ x_1 $ para $ x_2 Fx W $) é dado pela integral da força em relação à posição:
x1

Passo 4

Fazendo a integração, temos:
W = 6 integralx1^x2 x , dx = 6 [ x^22 ]x1^x2 = 3 (x2^2 - x1^2)

Passo 5

Segundo o Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética ($ \Delta K $):
De
Onde:
  • $ m = 2,0 $ kg
  • $ v_1 = 8,0 $ m/s (quando $ x_1 = 3,0 $ m)
  • $ v_2 = 5,0 $ m/s (quando $ x_2 $ é desconhecido)

Passo 6

Substituindo os valores na equação do trabalho:
3 (x2^2 - 3,0^2) = 12 times 2,0 times 5,0^2 - 12 times 2,0 times 8,0^2
Simplificando:
3 (x2^2 - 9) = 12 times 2 times 25 - 12 times 2 times 64
3 (x2^2 - 9) = 25 - 64
3 (x2^2 - 9) = -39

Passo 7

Agora, resolvemos para $ x_2 $:
x2
x2^2 - 9 = -393
x2^2 - 9 = -13
x2^2 = -13 + 9

Resposta

Não existe um valor positivo de $ x $ que satisfaça a condição de velocidade igual a 5,0 m/s para este sistema, já que obtivemos $ x_2^2 = -4 $, o que não é possível no contexto físico.

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