Através de uma das extremidades de um tanque retangular de 0,90 \mathrm{~m} de largura, água é admitida com vazão de 571 / \mathrm{s}. No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de 7,0 \mathrm{~cm} de diâmetro, escoando para a atmosfera. Na outra extremidade existe um vertedor retangular livre, de parede fina, com altura \mathrm{P}=1,20 \mathrm{~m} e largura da soleira igual a 0,90 \mathrm{~m}. Determine a altura d’água H no tanque e a vazão pelo vertedor, na condição de equilíbrio. Utilize a equação de Francis.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque retangular de largura 0,90\:\mathrm{m} onde chega água com vazão Q_{\rm in}=571\:\mathrm{L/s}=0,571\:\mathrm{m^3/s}. No fundo há um orifício circular de diâmetro d=7{,}0\:\mathrm{cm} e, na outra extremidade, um vertedor livre de borda afiada com altura P=1{,}20\:\mathrm{m} e comprimento da soleira L=0,90\:\mathrm{m}. Em regime permanente, a vazão que entra deve sair pelo orifício mais pelo vertedor, e a altura de lâmina H se ajusta a esse balanço. Vamos usar a equação de orifício Q=C_dA\sqrt{2gH} e a equação de Francis para vertedor livre.

Passo 2

Escrevemos o balanço de vazões em regime permanente:
Q_{\rm in}=Q_{\rm orifício}+Q_{\rm vertedor}.í

Passo 3

Para o orifício circular de diâmetro d, adotamos coeficiente de descarga típico C_d=0,62 e área
A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi\,(0,07)^2}{4} \approx3,846\times10^{-3}\:\mathrm{m^2}.
Assim
Q_{\rm orifício} =C_d\,A\sqrt{2gH} =0,62\cdot3,846\times10^{-3}\sqrt{2\cdot9,81\,H}.í

Passo 4

Para o vertedor livre de borda afiada a equação de Francis (teórica) é
Q_{\rm vertedor} =\frac{2}{3}\,\sqrt{2g}\;L\;H^{3/2}.

Passo 5

Substituindo g=9,81\:\mathrm{m/s^2}, L=0,90\:\mathrm{m} e reunindo os termos, o balanço fica
0,571 =0,62\cdot3,846\times10^{-3}\,\sqrt{2\cdot9,81\,H} \;+\;\frac{2}{3}\sqrt{2\cdot9,81}\;0,90\;H^{3/2}.
Numericamente isso é
0,571 =0,01056\,H^{1/2} +2,6573\,H^{3/2}.

Passo 6

Para resolver em H fazemos a mudança x=\sqrt{H}, de modo que a equação vira
2,6573\,x^3+0,01056\,x-0,571=0.
Usando método numérico (por tentativa ou Newton), encontra-se
x\approx0,597\quad\Longrightarrow\quad H=x^2\approx0,357\:\mathrm{m}.

Passo 7

Com H=0,357\:\mathrm{m}, a vazão no vertedor é
Q_{\rm vertedor} =\frac{2}{3}\sqrt{2\cdot9,81}\;0,90\;(0,357)^{3/2} \approx0,566\:\mathrm{m^3/s}.

Resposta

Altura de água no tanque: H\approx0,36\:\mathrm{m}.
Vazão pelo vertedor: Q_{\rm vertedor}\approx0,57\:\mathrm{m^3/s}.

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