Através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormal para nos itens abaixo: munido do produto interno usual do , onde é uma transformação linear dada por .
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de usando o processo de Gram–Schmidt, com o produto interno usual. Aqui precisamos (i) encontrar resolvendo o sistema linear definido por
e (ii) aplicar Gram–Schmidt à base encontrada e normalizar.
Passo 2
Escrevemos o sistema
Da segunda equação vem x=2z. Substituindo na primeira:
2z - y - z = 0implies y = z
Logo qualquer vetor em ker(T) é da forma
(x,y,z) = (2z,z,z) = z,(2,1,1)
Passo 3
Uma base simples de ker(T) é v1 com
v1 = (2,1,1)
Como ker(T) é de dimensão 1, o processo de Gram–Schmidt sobre v1 já produz um conjunto ortogonal (é só um vetor).