Através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormal para V nos itens abaixo:
V=ker(T) munido do produto interno usual do R^3, onde T: R^3 R^2 é uma transformação linear dada por T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de V=ker(T)subsetR^3 usando o processo de Gram–Schmidt, com o produto interno usual. Aqui precisamos (i) encontrar ker(T) resolvendo o sistema linear definido por
T(x,y,z)=(x-y-z,;2z-x)=(0,0),
e (ii) aplicar Gram–Schmidt à base encontrada e normalizar.

Passo 2

Escrevemos o sistema
x - y - z = 0, 2z - x = 0
Da segunda equação vem x=2z. Substituindo na primeira:
2z - y - z = 0implies y = z
Logo qualquer vetor em ker(T) é da forma
(x,y,z) = (2z,z,z) = z,(2,1,1)

Passo 3

Uma base simples de ker(T) é v1 com
v1 = (2,1,1)
Como ker(T) é de dimensão 1, o processo de Gram–Schmidt sobre v1 já produz um conjunto ortogonal (é só um vetor).

Passo 4

Normalizamos v1. Primeiro calculamos sua norma:
|v1| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz6
O vetor unitário é então
e1 = 1raiz6(2,1,1)

Resposta

A base ortonormal de ker(T) é
l,tfrac1raiz6(2,1,1)r

Exercícios relacionados