Nos itens abaixo, mostre que u, v in V são ortogonais ou obtenha condições para que eles sejam.
V=P2(R) munido do produto interno lang<= f(t), g(t)rang<==integral-1^1 f(t) g(t) d t, u=f(t)=m t^2-1 e v=g(t)=t

Passo 1

O espaço é V = P2(R) com o produto interno
lang<= f,grang<= = integral-1^1 f(t),g(t),dt
Dados
u(t)=f(t)=m t^2-1, v(t)=g(t)=t
Queremos saber para quais valores de m temos lang<= u,vrang<==0, isto é, quando u e v são ortogonais.

Passo 2

Recordando que u e v são ortogonais se, e somente se,
lang<= u,vrang<= =integral-1^1 (m t^2-1),t,dt =0

Passo 3

Expandindo o integrando, temos
lang<= u,vrang<= = integral-1^1 l(m t^3 - tr),dt = m integral-1^1 t^3,dt ;-;integral-1^1 t,dt

Passo 4

Como t^3 e t são funções ímpares, seus integrals simétricos em [-1,1] valem zero:
integral-1^1 t^3,dt = 0, integral-1^1 t,dt = 0
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lang<= u,vrang<= = mcdot 0 ;-; 0 = 0
para todo minR.

Resposta

As funções u(t)=m t^2-1 e v(t)=t são ortogonais para todo minR.

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