Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
T circ F, onde T e F são isometrias

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação T circ F é uma isometria, sabendo que T e F são isometrias. O conteúdo é o conceito de isometria em espaços métricos, que consiste em preservar distâncias.

Passo 2

Recordamos a definição: uma função phi é isometria se, para quaisquer pontos x,y,
d(phi(x),phi(y)) = d(x,y)

Passo 3

Para verificar que T circ F é isometria, tomamos x,y arbitrários no domínio e calculamos
dl((Tcirc F)(x),,(Tcirc F)(y)r) = dl(T(F(x)),,T(F(y))r)

Passo 4

Como T é isometria, temos
dl(T(F(x)),,T(F(y))r) = dl(F(x),,F(y)r)

Passo 5

Como F é isometria, concluímos
dl(F(x),,F(y)r) = d(x,y)

Passo 6

Combinando as igualdades, obtemos
dl((Tcirc F)(x),,(Tcirc F)(y)r) = d(x,y),
o que mostra que Tcirc F preserva distâncias e, portanto, é isometria.

Resposta

Sim, a composição Tcirc F é uma isometria.

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