Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
, onde
e
são isometrias
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma isometria, sabendo que
e
são isometrias. O conteúdo é o conceito de isometria em espaços métricos, que consiste em preservar distâncias.
Passo 2
Recordamos a definição: uma função
é isometria se, para quaisquer pontos
,
Passo 3
Para verificar que
é isometria, tomamos
arbitrários no domínio e calculamos
Passo 4
Como
é isometria, temos
Passo 5
Como
é isometria, concluímos
Passo 6
Combinando as igualdades, obtemos
o que mostra que
preserva distâncias e, portanto, é isometria.
Resposta
Sim, a composição
é uma isometria.