Mostre, se possível, que todo isomorfismo é uma isometria e, caso não seja, apresente um contra-exemplo.
Passo 1
Vamos trabalhar no contexto de espaços vetoriais normados sobre .
Um isomorfismo de espaços vetoriais normados é uma aplicação linear
que é bijetora e tem inversa linear contínua.
Uma isometria é uma aplicação (não precisa ser linear)
tal que, para todos ,
Queremos ver se toda bijeção linear invertível entre espaços normados preserva distâncias.
Passo 2
Se T for linear e isometria, então para todo x,yin V
l|T(x)-T(y)r|W =|x-y|V
Tomando y=0 obtemos |T(x)|W=|x|V, logo T é injetora e contínua, e sua inversa também será contínua e linear. Assim, toda aplicação linear que seja isometria é de fato um isomorfismo de espaços normados.
Passo 3
Agora o inverso nem sempre ocorre: um isomorfismo linear (bijetivo com inversa contínua) não precisa preservar norma.
Contra-exemplo em V=W=R^2 com a norma euclidiana |,(x,y)|!=raizx^2+y^2. Defina
T(x,y) = (2x,;y)
– T é linear.
– det T=2neq0, logo T é bijetora e tem inversa linear contínua.
Mas
l|T(1,0)r| = |(2,0)| = 2 neq |(1,0)| = 1,
então T não preserva distâncias e não é isometria.
Resposta
Nem todo isomorfismo (bijetão linear invertível) é isometria. O exemplo
T(x,y)=(2x,y)
em R^2 mostra claramente um isomorfismo que não preserva norma.