Através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormal para V nos itens abaixo:
V=(x, y, z) in R^3 ; x-2 y=0 munido do produto interno usual

Passo 1

O subespaço VsubsetR^3 é dado por
V=(x,y,z)mid x-2y=0,
ou seja, a condição é x=2y. O objetivo é usar o processo de Gram–Schmidt no produto interno usual para obter uma base ortonormal de V.

Passo 2

Para parametrizar V, escrevemos
(x,y,z)=(2y,y,z)=y,(2,1,0)+z,(0,0,1)
Logo um conjunto gerador (base) natural é
b1=(2,1,0), b2=(0,0,1)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt ao par (b1,b2). Primeiro tomamos
u1 = b1 = (2,1,0),
e sua norma no produto interno usual é
|u1| = raiz2^2+1^2+0^2 = raiz5
Definimos o primeiro vetor ortonormal
e1 = u1|u1| = l(2raiz5,,1raiz5,,0r)

Passo 4

Em seguida, construímos
u2 = b2 - llang<= b2,e1rrang<=,e1
Como
llang<= (0,0,1),(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5,0)rrang<= = 0cdottfrac2raiz5+0cdottfrac1raiz5+1cdot0 = 0,
vem u2 = b2 = (0,0,1). Sua norma é |u2|=1, e portanto
e2 = u2 = (0,0,1)

Resposta

A base ortonormal de V obtida é
l;(e1,e2)r = l;l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5,0r),;(0,0,1)r

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