Sejam
e
subespaço vetoriais de um espaço euclidiano
de dimensão finita. Mostre que:
Passo 1
O enunciado está em um espaço euclidiano
de dimensão finita, com subespaços
e
. Queremos mostrar
onde, por definição,
e similarmente para
e
. A estratégia é provar as duas inclusões.
Passo 2
Provar
.
Seja . Então, para todo
vale
. Como
, todo
também satisfaz
, logo
. De modo análogo, como
, segue
para todo
, ou seja,
. Portanto
Seja
Passo 3
Provar
.
Seja . Então
para todo
e
para todo
. Qualquer vetor
pode ser escrito como
Seja
Pela linearidade do produto interno:
Logo
, e deduzimos