Sejam U e V subespaço vetoriais de um espaço euclidiano W de dimensão finita. Mostre que:
(U+V)^perp=U^perp cap V^perp

Passo 1

O enunciado está em um espaço euclidiano W de dimensão finita, com subespaços U e V. Queremos mostrar
(U+V)^perp ;=; U^perp,cap,V^perp,
onde, por definição,
U^perp = ,xin W mid lang<= x,urang<= = 0 forall,uin U,
e similarmente para V^perp e (U+V)^perp. A estratégia é provar as duas inclusões.

Passo 2

Provar (U+V)^perpsubseteq U^perpcap V^perp.
Seja xin (U+V)^perp. Então, para todo win U+V vale lang<= x,wrang<==0. Como Usubseteq U+V, todo uin U também satisfaz lang<= x,urang<==0, logo xin U^perp. De modo análogo, como Vsubseteq U+V, segue lang<= x,vrang<==0 para todo vin V, ou seja, xin V^perp. Portanto
xin U^perpcap V^perp Longrightarrow (U+V)^perpsubseteq U^perpcap V^perp

Passo 3

Provar U^perpcap V^perpsubseteq (U+V)^perp.
Seja xin U^perpcap V^perp. Então lang<= x,urang<==0 para todo uin U e lang<= x,vrang<==0 para todo vin V. Qualquer vetor win U+V pode ser escrito como
w = u + v, uin U, vin V
Pela linearidade do produto interno:
lang<= x,wrang<= = lang<= x,,u+vrang<= = lang<= x,urang<= + lang<= x,vrang<= = 0 + 0 = 0
Logo xin (U+V)^perp, e deduzimos
U^perpcap V^perpsubseteq (U+V)^perp

Resposta

(U+V)^perp ;=; U^perp,cap,V^perp

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