Seja
um espaço com produto interno. Considere
um subespaço vetorial de
e
uma base ortonormal de
. Mostre que a aplicação
dada por
, chamada de projeção ortogonal de
sobre
, é um operador linear. Mais ainda, prove que
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um espaço com produto interno
, um subespaço
de dimensão
e uma base ortonormal
de
. Definimos a projeção ortogonal
O que vamos provar:
-
é linear. -
(idempotência). -
. -
. -
.
Passo 2
Provar que
é linear.
Sejam e
. Usando a linearidade do produto interno em cada argumento e a distributividade escalar, temos
Sejam
Logo,
é um operador linear.
Passo 3
Provar que
.
Para qualquer , escrevendo
, aplicamos
de novo:
Para qualquer
Como
é ortonormal,
. Assim
Portanto
isto é,
.
Passo 4
Determinar
.
Por definição, se e somente se
Por definição,
Como os vetores
são linearmente independentes, isso ocorre exatamente quando
para todo
. Mas essa condição caracteriza o complementar ortogonal de
:
Passo 5
Determinar
.
- Se
, então
logo
.
2. Por outro lado, se , escrevemos
. Então, aplicando
a
,
2. Por outro lado, se
Isso mostra que todo vetor de
pertence à imagem,
. Portanto
Passo 6
Provar que
.
Para , definimos
Para
Então
. Além disso, para todo
,
logo
. Isso mostra que todo
se decompõe em um elemento de
e um de
. A unicidade da decomposição decorre do fato de que
. Assim
Resposta
E é linear,
,
,
e
.