Seja V um espaço com produto interno. Considere U um subespaço vetorial de V e B=u1, ldots, ur uma base ortonormal de U. Mostre que a aplicação E: V V dada por E(u)=lang<= u, u1rang<= u1+ldots+lang<= u, u1rang<= u1, chamada de projeção ortogonal de V sobre U, é um operador linear. Mais ainda, prove que E^2=E, Ker(U)=U^perp, Im(E)=U e V=ker(E) oplus Im(E).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um espaço com produto interno V, um subespaço Usubset V de dimensão r e uma base ortonormal B=u1,dots,ur de U. Definimos a projeção ortogonal
Ecolon Vto V, E(v)=sumi=1^rlang<= v,uirang<=,ui
O que vamos provar:
  1. E é linear.
  2. E^2=E (idempotência).
  3. ker(E)=U^perp.
  4. Im(E)=U.
  5. V=ker(E)oplusIm(E).

Passo 2

Provar que E é linear.
Sejam v,win V e alpha,betainK. Usando a linearidade do produto interno em cada argumento e a distributividade escalar, temos
E(alpha v+beta w) =sumi=1^rlang<= alpha v+beta w,,uirang<= ui =sumi=1^rl(alphalang<= v,uirang<=+betalang<= w,uirang<=r)ui =alphasumi=1^rlang<= v,uirang<= ui +betasumi=1^rlang<= w,uirang<= ui =alpha,E(v)+beta,E(w)
Logo, E é um operador linear.

Passo 3

Provar que E^2=E.
Para qualquer vin V, escrevendo E(v)=sumilang<= v,uirang<= ui, aplicamos E de novo:
El(E(v)r) =El(sumi=1^rlang<= v,uirang<= uir) =sumj=1^rllang<= sumi=1^rlang<= v,uirang<= ui,,ujrrang<= uj
Como ui é ortonormal, lang<= ui,ujrang<==de<aij. Assim
llang<= sumilang<= v,uirang<= ui,ujrrang<= =sumilang<= v,uirang<=lang<= ui,ujrang<= =lang<= v,ujrang<=
Portanto
El(E(v)r) =sumj=1^rlang<= v,ujrang<= uj =E(v),
isto é, E^2=E.

Passo 4

Determinar ker(E).
Por definição, vinker(E) se e somente se
E(v)=sumi=1^rlang<= v,uirang<= ui=0
Como os vetores ui são linearmente independentes, isso ocorre exatamente quando lang<= v,uirang<==0 para todo i. Mas essa condição caracteriza o complementar ortogonal de U:
ker(E)=vin Vmidlang<= v,uirang<==0,;i=1,dots,r=U^perp

Passo 5

Determinar .
  1. Se , então
logo .
2. Por outro lado, se , escrevemos . Então, aplicando a ,
Isso mostra que todo vetor de pertence à imagem, . Portanto

Passo 6

Provar que V=ker(E)oplusIm(E).
Para vin V, definimos
v1=E(v)in U e v2=v-E(v)
Então v=v1+v2. Além disso, para todo uiin B,
lang<= v2,uirang<= =lang<= v-E(v),uirang<= =lang<= v,uirang<=-lang<= E(v),uirang<= =lang<= v,uirang<=-lang<= v,uirang<= =0,
logo v2in U^perp=ker(E). Isso mostra que todo v se decompõe em um elemento de Im(E)=U e um de ker(E). A unicidade da decomposição decorre do fato de que Ucap U^perp=0. Assim
V=ker(E)oplusIm(E)

Resposta

E é linear, E^2=E, ker(E)=U^perp, Im(E)=U e V=ker(E)oplusIm(E).

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