Determine a isometria do R^3 cuja matriz em relação à base canônica é
(ccc 1raiz2 & 1raiz2 & 0 0 & 0 & 1 x & y & z )

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0 0&0&1 x&y&z
e pede que seja uma isometria de R^3. Linearmente, uma isometria central em R^3 corresponde a uma transformação ortogonal, isto é, a matriz A deve satisfazer
A,A^T=I
ou equivalentemente suas linhas (ou colunas) devem formar um sistema ortonormal.

Passo 2

Aplicamos a condição de ortogonalidade às linhas. A segunda e a terceira linha de A são
r2=(0,0,1), r3=(x,y,z)
Elas devem ser ortogonais, i.e. r2cdot r3=0, o que dá
0cdot x+0cdot y+1cdot z=0 Longrightarrow z=0

Passo 3

Agora impomos que a primeira e a terceira linha sejam ortogonais. A primeira linha é
r1=l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r),
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r1cdot r3 =tfrac1raiz2,x+tfrac1raiz2,y+0cdot0 =tfracx+yraiz2=0 Longrightarrow x+y=0 Longrightarrow y=-x

Passo 4

Finalmente, normalizamos a terceira linha: |r3|=1 exige
x^2+y^2+z^2=1 Longrightarrow x^2+(-x)^2+0^2=1 Longrightarrow 2x^2=1 Longrightarrow x=pmtfrac1raiz2,;y=-x

Passo 5

Temos duas soluções ortogonais (determinante +1 ou -1). Se quisermos a isometria preservadora de orientação ( det A=+1), calculamos o sinal correto escolhendo
x=+tfrac1raiz2, y=-tfrac1raiz2

Resposta

A isometria (rotação) de R^3 com det=+1 é dada pela matriz
A= tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0 0&0&1 tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2&0

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