Determine a isometria do cuja matriz em relação à base canônica é
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0 0&0&1 x&y&z
e pede que seja uma isometria de R^3. Linearmente, uma isometria central em R^3 corresponde a uma transformação ortogonal, isto é, a matriz A deve satisfazer
A,A^T=I
ou equivalentemente suas linhas (ou colunas) devem formar um sistema ortonormal.
Passo 2
Aplicamos a condição de ortogonalidade às linhas. A segunda e a terceira linha de A são
r2=(0,0,1), r3=(x,y,z)
Elas devem ser ortogonais, i.e. r2cdot r3=0, o que dá
0cdot x+0cdot y+1cdot z=0 Longrightarrow z=0
Passo 3
Agora impomos que a primeira e a terceira linha sejam ortogonais. A primeira linha é
Temos duas soluções ortogonais (determinante +1 ou -1). Se quisermos a isometria preservadora de orientação (det A=+1), calculamos o sinal correto escolhendo
x=+tfrac1raiz2, y=-tfrac1raiz2
Resposta
A isometria (rotação) de R^3 com det=+1 é dada pela matriz