Através do produto escalar entre os vetores \beta=(x, 2,4) e \varphi=(x+1,0,5), determine o valor de x para que o ângulo entre eles seja \theta=90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3,
\beta=(x,2,4) e \varphi=(x+1,0,5),
e pede o valor de x para que o ângulo entre eles seja \theta=90^\circ.
O conteúdo é produto escalar e condição de perpendicularidade de vetores.

Passo 2

Para que dois vetores sejam perpendiculares, o cosseno do ângulo entre eles deve ser zero. Como
\cos\theta=0 implica
\beta\cdot\varphi=0,
vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3:
\beta\cdot\varphi = \beta_1\phi_1 + \beta_2\phi_2 + \beta_3\phi_3.

Passo 3

Aplicando ao caso dado,
\beta\cdot\varphi = x\,(x+1) + 2\cdot 0 + 4\cdot 5.

Passo 4

Simplificando, obtemos
\beta\cdot\varphi = x^2 + x + 20.
Para perpendicularidade, impomos
x^2 + x + 20 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática, o discriminante é
\Delta = 1 - 4\cdot1\cdot20 = 1 - 80 = -79.
Como \Delta<0, não há raízes reais.

Resposta

Não existe valor real de x que torne os vetores perpendiculares.
Se aceitarmos soluções complexas,
x = \frac{-1 \pm i\sqrt{79}}{2}.

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