Dados os vetores \vec{u}=(2,-1,1), \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2). Responda:
a) Conseguimos escrever \vec{w} como combinação linear de \vec{u} e \vec{v} ? Justifique.
b) A área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(2,-1,1),\quad \vec{v}=(1,-1,0),\quad \vec{w}=(-1,2,2).
Parte (a) pede verificar se existe combinação linear
\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v}=\vec{w},
e parte (b) quer a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Vamos usar resolução de sistema linear para (a) e produto vetorial para (b).

Passo 2

Para (a) escrevemos o sistema de componentes de
\lambda\,(2,-1,1)+\mu\,(1,-1,0)=(-1,2,2). Isso gera as equações:
\begin{cases} 2\lambda + \mu = -1,\\\\ -\,\lambda - \mu = 2,\\\ \lambda + 0\cdot\mu = 2. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação vem \lambda=2. Substituindo nas duas primeiras:
2\cdot2+\mu=-1\implies \mu=-5,
-2 -(-5)=3\neq2.
Há contradição na segunda equação, logo não existem \lambda,\mu que satisfaçam todas as igualdades e, portanto, \vec{w} não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Para (b) a área do paralelogramo é \|\vec{u}\times\vec{v}\|. O produto vetorial em coordenadas é
\vec{u}\times\vec{v} =(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Substituindo \vec{u}=(2,-1,1) e \vec{v}=(1,-1,0) obtemos
\vec{u}\times\vec{v} =(-1\cdot0-1\cdot(-1),\;1\cdot1-2\cdot0,\;2\cdot(-1)-(-1)\cdot1) =(1,1,-1).
A norma é
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt{3}.

Resposta

a) Não. O sistema para \lambda,\mu é inconsistente.
b) \sqrt{3}.

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